1、第2讲排列与组合1排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(3)排列数的性质An！；0！12组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式C.(3)组合数的性质C1；C；CCC做一做1某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是()ACCCBCCCCAAA DC答案：A2用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8 B24C48 D120答案：C1辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关
2、(2)计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)2排列与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关做一做3(2014高考大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种B70种C75种 D150种 解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC75(种)4在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品
3、排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答)解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA24(种)不同的展出方案答案：24_排列应用题_3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾解(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A2 520(种)排法(2)前
4、排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A5 040(种)排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有NAAA288(种)(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故NAA1 440(种)(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A5(种)排法；再安排其他人，有A720(种)排法所以共有AA3 600(种)排法在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲
5、、乙两人必须排在两端解：(1)先排甲有4种，其余有A种，故共有4A2 880(种)排法(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有AA240(种)排法规律方法求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法_组合应用题_要从5名女生，7名男生中选出
6、5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选解(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女由分类加法计数原理知总选法数为CCCCCCCCC771(种)法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解从12名人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种所以“至少有1名女生入选”的选法有CC771(种)(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有CC120(种)选法(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一
7、个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为CC540(种)在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为CCCCC546(种)规律方法解决组合类问题的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法
8、和间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理_排列、组合的综合应用(高频考点)_排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度：(1)分配问题；(2)排列问题；(3)定位问题；(4)选派问题(1)(2014高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种B216种C240种 D288种(2)(2015兰州市、张掖市联合诊断)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同
9、去或同不去，则不同的选派方案共有()A150种 B300种C600种 D900种(3)(2014高考北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种解析(1)第一类：甲在最左端，有A54321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196(种)方法所以共有12096216(种)方法(2)若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有CA240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有CA360种方法因此共有600种不同的选派方案(3)将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，
10、将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法于是符合题意的排法共有AAAA36(种)答案(1)B(2)C(3)36规律方法解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(1)(2014高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24(2)(2015东北三校联合模拟)一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai0，1，2，3，4，5，i1，2，3，4，5，
11、当且仅当a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”(如32 014，53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()A110 B137C145 D146(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法(4)(2015保定市调研考试)已知集合M1，2，3，4，5，6，集合A、B、C为M的非空子集，若xA、yB、zC，xyz恒成立，则称“ABC”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有_个解析：(1)插空法在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可故排法种数为A24.故选D.(2)分四种情况进行讨论：a3是0，a1和a2有C种排法
12、，a4和a5有C种排法，则五位自然数中“凹数”有CC100个；a3是1，有CC36个；a3是2，有CC9个；a3是3，有CC1个由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有1003691146个(3)将6名教师分组，分三步完成：第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第二步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第三步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60种取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6种分法故共有606360种不同的分法(4)由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C种取法，第二步
13、，分成三组，共C种分法，所以共有CC个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C种取法，然后将这5个元素分成三组共C种分法，所以共有CC个子集串；同理含4个元素的子集串数为CC；含3个元素的子集串数为CC.集合M的子集串共CCCCCCCC111个答案：(1)D(2)D(3)360(4)111方法思想分类讨论思想求解排列、组合问题(2014高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72B120C144 D168解析解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不
14、同排法有A2A72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC48，故共有120种不同排法，故选B.答案B名师点评对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类本题在排歌舞类节目后再进行分类，把剩余3个节目插入两个空还是三个空1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12种 B16种C24种 D36种解析：选D.当甲排在边上时，有2A12种方法；当甲不排在边上时，有12A24种方法，这样
15、一共有122436种不同的着舰方法2(2014高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.答案：601数列an共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列an共有()A30个 B31个C60个 D61个解析：选A.在数列的六项中，只
16、要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A30个不同的数列2(2015昆明市第一次摸底)从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有()A35种 B70种C84种 D140种解析：选B.由题知不同取法有CCCC70种3(2015陕西西安检测)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A15 B45C60 D75解析：选C.从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是CC90.重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是
17、CC30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是903060.4(2015福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A12种 B20种C40种 D60种解析：选C.(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得240.5身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为()A24 B28C36 D48解析：选D.穿红色
18、衣服的人相邻的排法有CAA48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种而红色、黄色同时相邻的有AAA24种故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A2482448种6CC_解析：由组合数的定义得，解之得4n5，nN*，n4或n5.当n4时，原式CC5，当n5时，原式CC16.答案：5或167(2015潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法；第三步
19、：将两个小孩排序有2种排法故总的排法有22A24(种)答案：248(2015江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为_解析：三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位的有A个，3在十位上的有A个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为121622330.答案：309男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员解：(1)
20、任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有CC120(种)方法(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有CC246(种)10从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在
21、5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760(个)15名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A150种 B180种C200种 D280种解析：选A.依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1，2，2与1，1，3两种，当人数是1，2，2时，有A90(种)当人数是1，1，3时，则有A60(种)，因此共有9060
22、150(种)2(2015浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A528个 B1 056个C1 584个 D4 851个解析：选B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项设这三个成等差数列的数分别为a，b，c.由题意得abc100，即3b100，得b可以取2，3，33，共32个数第一类，b2时，a，c的取值共有2个(a1，c3和a3，c1，对应的是两个数列)；第二类，b3时，a，c的取值共有4个；第三十二类，b33时，a，c的取值共有64个根据分类加法计数原理，可得满足题意的数列共有24641 056个3甲、乙、丙3人站到共有7级的
23、台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有CA126(种)站法，共有210126336(种)站法答案：3364(2015山东潍坊五校联考)数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C3种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A20种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行
24、，有C2种方法，剩下的两个数字有A2种排法，按分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA240.答案：2405按照下列要求，求分别有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有464 096(种)不同方法(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有CCACCA1 560(种)不同放法6(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示) (1)图中共有多少个矩形？(2)从A点到B点最近的走法有多少种？解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形CC210(个)(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有CC210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)所以共有210种走法