1、1.7.2 定积分在物理中的应用1变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即_sabv(t)dt2变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a4时，P点向负方向运动，因此，所求路程应为s304(8t2t2)dt45(8t2t2)dt4t223t34023t34t25426.(4)依题意知0t(8t2t2)dt0，即4t223t30.解得t10或t26.t10对应于P点刚开始从原点出发的情况，t26是所求的t.物体做变速直线运动经过的路程sabv(t)dt，(
2、v(t)0)，要注意速度方向的改变，区分路程与位移的异同1一辆汽车在一段时间内，行驶过程中的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数v(t)2t t2，t0，求汽车在28 s这段时间内走过的路程【解析】s28v(t)dt28(2 tt2)dt，而43t32 12t22t 2 tt2，所以s43t32 12t22t82563242.所以汽车在28 s这段时间内走过的路程为563242 m.【例2】设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功【解题探究】先求出力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解求变力所做的功【解析】设以x表
3、示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)kx.依题意，使弹簧伸长5 cm，需力100 N，即1005k，所以k20，于是F(x)20 x.所以弹簧伸长到40 cm所做的功即计算由x0到x15所做的功为W150 20 xdx10 x2 150 2 250(Ncm)当物体沿与F相同方向从xa移动到xb时，力F做的功是Wab F(x)dx.当物体运动方向与F的方向夹角为时，WabF(x)cos dx.2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，气体压强与体积的乘积是常数k，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功【解析】由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pVk.VxS(x指活塞与底的距离)，pkV kxS.作用在活塞上的力FpS kxSSkx.所做的功Wabkxdxkln xba klnba.
