1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 5 课时 椭 圆 考纲点击1.利用椭圆定义求其标准方程.2.根据椭圆的几何性质探究离心率、最值、定点问题.3.与函数、三角函数、平面向量、不等式等交汇命题，综合考查.1(2016高考全国乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D34解析：选 B.由椭圆的对称性，不妨令直线 l 经过椭圆的上顶点 A 和右焦点 F，则|OA|b，|OF|c，|AF|a，所以点 O 到直线 l 的距离为bca.故bca 142b，所以 eca12
2、.故选 B.2(2015高考课标全国卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12解析：选 B.抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，因为离心率 eca12，所以 a4，所以 b2a2c212.由题意知|AB|2b2a 2124 6.故选 B.3(2013高考课标全国卷)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF
3、2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36B13C.12D 33解析：选 D.在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|3.所以 e2c2a|F1F2|PF1|PF2|33.故选D.4(2014高考课标全国卷)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.解：(1)根据 c a2b2及
4、题设知 Mc，b2a，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12或ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意，知原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线MF1 与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y10，则 2（cx1）c，2y12，即x132c，y11.代入 C 的方程，得9c24a2 1b21.将及 c a2b2代入得9（a24a）4a2 14a1.解得 a7，b24a28.故 a7，b2 7.考点一 椭圆的定义及应用命题
5、点 椭圆的两定点、两距离、一定值椭圆的定义 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做 椭圆焦点焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若，则集合 P 为椭圆；(2)若，则集合 P 为线段；(3)若，则集合 P 为空集 2a2c2a2c2a2c1(2017豫东、豫北十校联考)椭圆 C：x2a2y21(a0)的左右焦点分别为 F1、F2、P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为2
6、3，则PF1F2 的周长是()A2(2 3)B.22 3C.2 3D42 3解析：选 A.因为 O，M 分别为 F1F2 和 PF1 的中点，所以OMPF2，且|OM|12|PF2|，同理，ONPF1，且|ON|12|PF1|，所以四边形 OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM|ON|3，故|PF1|PF2|2 3，即 2a2 3，a 3，由 a2b2c2 知 c2a2b22，c 2，所以|F1F2|2c2 2，故PF1F2 的周长为2a2c2 32 2，选 A.2已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2，0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点
7、P 的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线解析：选 B.点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|.又 AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，点 P 的轨迹是椭圆 3(2017徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，则r1r22a，r21r224c2，2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，SPF1F212r1r2b29，b3.答案：3椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组
8、成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，如图PF1F2 的周长为 2a2c，PF1B 的周长为 4a.利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等SPF1F212|PF1|PF2|sin，而(2c)2(2a)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos.考点二 求椭圆的标准方程命题点 椭圆的焦点位置及 a，b，c 关系椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是x2a2y2b21(ab0)，焦点坐标，其中 b2a2c2；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是y2a2x2b21(ab0)，焦点坐标，其中 b2a2c2.F1(0，c)，F2(0，c)F1(
9、c，0)，F2(c，0)说明：焦点在 x 轴上标准方程中 x2 项的分母较大；焦点在y 轴上标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据椭圆标准方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”1.(2017大庆一模)如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251B.x236y2161C.x230y2101Dx245y2251解析：选 B.设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为2c，右焦点为 F，连接 PF，如图所
10、示因为 F(2 5，0)为 C的左焦点，所以 c2 5.由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF180，知FPOOPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理得，|PF|FF|2|PF|2（4 5）2428.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，从而 a6，得 a236，于是b2a2c236(2 5)216，所以椭圆的方程为x236y2161.2若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 1，则椭圆的标准方程为解析：由题意可知ca12，ac1，c1，a2，b2a2c23.椭圆方程为x24y231 或x23y241
11、.答案：x24y231 或x23y2413(2017西安模拟)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为解析：y225x291 的焦点为(0，4)，即为所求椭圆焦点 法一：2a（3）2（54）2（3）2（54）2 2 20，a 20，b220164，椭圆标准方程为y220 x241.法二：设所求椭圆为y225m x29m1 过定点(3，5)，525m39m1，m5，椭圆标准方程为y220 x241.答案：y220 x241椭圆的标准方程的应用主要是根据椭圆的定义、几何性质、特点求椭圆的方程椭圆的标准方程有如下三种求法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2 的
12、值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a、b、c 的方程组，解出 a2、b2，从而写出椭圆的标准方程(3)特殊的椭圆系方程 与椭圆x2m2y2n21 共焦点的椭圆可设为x2m2k y2n2k1(km2，kn2)；与椭圆x2a2y2b21(ab0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2y2b2k1(k10，焦点在 x 轴上)或y2a2x2b2k2(k20，焦点在 y 轴上)不确定焦点位置，椭圆设为 mx2ny21.(m0，n0，mn)考点三 椭圆的几何性质及应用命题点 确定椭圆的焦点位置与长轴椭圆的标
13、准方程和几何性质 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 范围 axabyb bxbaya 对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率eca(0，1)性质 a，b，c 的关系c2a2b21(2016高考全国丙卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直
14、线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13 B.12C.23D34解析：选 A.法一：设点 M(c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k y0ac，从而直线 AM 的方程为 y y0ac(xa)，令 x0，得点 E 的纵坐标 yE ay0ac.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN ay0ac.因为 2yNyE，所以 2ac 1ac，即 2a2cac，所以 eca13.故选 A.法二：如图，设 OE 的中点为 N，由题意知|AF|ac，|BF|ac，|OF|c，|OA|OB|a，PFy 轴，|MF|O
15、E|AF|AO|aca，|MF|ON|BF|OB|aca，又|MF|OE|MF|2|ON|，即aca ac2a，a3c，故 eca13.2已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B0，34C.32，1D34，1解析：选 A.根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.又 d|304b|32（4）245，所以 1b2，所以 eca1b2
16、a21b24.因为 1b2，所以 0e 32.3(2017合肥质检)如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点则PFPA的最大值为解析：设 P 点坐标为(x0，y0)由题意知 a2，eca12，c1，b2a2c23.故所求椭圆方程为x24y231.2x02，3y0 3.F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，PFPAx20 x02y2014x20 x01 14(x02)2.即当 x02 时，PFPA取得最大值 4.答案：4(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2y2b
17、21(ab0)有axa，byb，0e1 等，求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值与最小值(2)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 ac，最小距离为 ac.(3)求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率考点四 直线与椭圆的位置关系命题点 方程的思想1直线与椭圆位置的关系：相交，相切，相离 2直线与椭圆相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，弦
18、 AB 的长为|AB|（x2x1）2（y2y1）21k2|x2x1|11k2|y2y1|1k2|A|(k0)3通径|AB|2b2a.(0)(0)(b0)的右焦点F(1，0)，过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P，Q 两点，当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，线段 OF 上是否存在点 T(t，0)，使得QP TPPQ TQ？若存在，求出实数 t 的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)由题意知 c1，设bctan 60 3，所以 b23.a2b2c24.所以椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设直线 PQ 的方
19、程为 yk(x1)(k0)，代入x24y231，得(34k2)x28k2x4k2120.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点为 R(x0，y0)，则 x0 x1x22 4k234k2，y0k(x01)3k34k2，由QP TPPQ TQ得，PQ(TQ TP)PQ 2(TR)0，所以直线 TR 为线段 PQ 的垂直平分线，直线 TR 的方程为 y3k34k21kx 4k234k2，令 y0，得点 T 的横坐标 tk234k213k24，因为 k2(0，)，所以3k24(4，)，所以 t0，14.所以线段 OF 上存在点 T(t，0)，使得QP TPPQ TQ，其中t0，14.1考前必记(1)椭圆的定义和标准方程(2)椭圆的图形及几何性质(3)椭圆中焦点三角形的性质2答题指导(1)看到椭圆上的点到焦点的距离，想到椭圆的定义(2)看到求椭圆的方程，想到焦点的位置及方程形式(3)看到求椭圆的离心率，想到建立 a 与 c、a 与 b 的方程或不等式(4)看到求直线与椭圆的综合问题，想到联立方程组，设而不求的解法课时规范训练