1、黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求）1、在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（ ） A. B. C. D. 或2、已知，且与互为共轭复数，则（ ）A. B. C. D. 3、已知球的表面积为，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 4、复数，则在复平面内的对应点所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限5、若平面平面，直线，直线，则与的位置关系是A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面6、“存在实数，
2、使”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7、棱台的上下底面的面积分别是和，高为，则该棱台的体积是（ ）A. B. C. D. 8、已知三点不共线，若，点为线段的中点，且，则（ ）A. B. C. D. 9、在棱长为的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ）A.B. C. D.10、中，则（ ）A. B. C. D. 11、的外接圆的圆心为，则（ ）A. B. C. D. 12、如图，各棱长均为的正三棱柱，分别为线段和上的动点，且平面，线段的中点的轨迹的长度为，则正三棱柱的体积为（ ）A. B. C. D. 二
3、、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13、已知单位向量满足，则_ 14、是虚数单位，复数是关于的方程 （为实数）的一个根，则_15、已知单位向量与单位向量的夹角为，若向量与的夹角为，则实数_16、如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：四棱锥的体积恒为定值；对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面；存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值其中为真命题的是_（填写所有正确答案的序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）在底面半径为2母
4、线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱.（1）求该圆锥的体积；（2）求内接圆柱的表面积.18、（12分）已知向量，（1）若与平行，求的值；（2）若与垂直，求的值19、（12分）在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点，求证：三点在同一条直线上.20、（12分）已知中内角所对的边分别为，且，.（）求角的大小；（）求的取值范围.21、（12分）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，.（1）求证：；（2）求的取值范围.22、（12分）如图，在矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折.（1）求证：当点不共线时，线段总平行于平面.（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段平行”这个结论正确吗？
5、如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.鹤岗一中20202021学年度高一下学期期中考试数学试题参考答案一、1、D 2、C 3、C 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、C 11、A 12、D13、 14、 15、 16、二、17、解：（1）由题意，圆锥的高为，底面面积为，2分圆锥的体积,.4分（2）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，则圆柱的上底面为中截面，可得，.6分，.8分.10分18、解：（1）因为向量，所以，2分因为与平行，所以，4分即，所以.6分（2）因为向量，所以，8分因为
6、与垂直，所以，所以，10分解得.12分19、证明：因为平面，平面，.2分平面，平面，.4分所以平面平面.6分又因为平面，所以直线平面，.8分所以平面，.10分所以直线，即三点在同一条直线上.12分20、解：（）由题意知，结合余弦定理，整理得，.3分因为，所以，.4分又因为，所以.6分（）由（）知：，所以 ，.8分因为，所以，.9分所以，所以，.11分即的取值范围.12分21、（1）证明：设,，.2分三点共线，则存在，使得，即，.4分即，整理得，.6分即，即，即；.7分（2）由（1），.8分，可知，.10分，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围为.12分22、（1）证明：在平面图形
7、中，连接MN，与AB交于点G. 1分四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且，四边形ADBE是平行四边形，.又，四边形ADNM是平行四边形，.3分当点F，A，D不共线时，如图，平面，平面，所以平面ADF，同理平面ADF，又， 平面，平面平面ADF.又平面GNM，平面ADF.故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FA D. 5分（2）解：这个结论不正确. 6分要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：当点F，A，D共线时，由（1）得.当点F，A，D不共线时，如图，由（1）知平面平面FDA，则要使总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与共面即可. 7分若要使FD与共面，连接FM，只要FM与DN相交即可，平面ABEF，平面ABCD，平面平面，若FM与DN相交，则交点只能为点B，由于四边形为平行四边形，与的交点为的中点，则只有M，N分别为AE，DB的中点才满足. 9分由，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. 10分平面平面，平面平面，平面平面FDA，.12分