1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 1 课时 直线及其方程 考纲点击1.利用斜率的概念和两点坐标求斜率.2.利用直线的斜率求倾斜角.3.利用直线方程四种特殊形式求直线方程和一般方程.4.利用直线方程求直线的几何要素.1(2016高考北京卷)已知 A(2，5)，B(4，1)若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为()A1B3C7 D8解析：选 C.依题意得 kAB51242，线段 lAB：y12(x4)，x2，4，即 y2x9，x2，4，故 2xy2x(2x9)4x9，x2，4设 h(x)4x9，易知 h(x)4x9在2，4上单调递增，故
2、当 x4 时，h(x)max4497.2(2014高考福建卷)已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则 l 的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30Dxy30解析：选 D.圆 x2(y3)24 的圆心为点(0，3)，又因为直线 l 与直线 xy10 垂直，所以直线 l 的斜率 k1.由点斜式得直线 l：y3x0，化简得 xy30.3(2015高考广东卷)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是()A2xy50 或 2xy50B2xy 50 或 2xy 50C2xy50 或 2xy50D2xy 50 或 2xy 50解析：选 A.所求直
3、线与直线 2xy10 平行，设所求的直线方程为 2xym0.又所求直线与圆 x2y25 相切，|m|14 5，解得 m5.即所求的直线方程为 2xy50 或 2xy50.4(2014高考安徽卷)过点 P(3，1)的直线 l 与圆 x2y21 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A.0，6B0，3C.0，6D0，3解析：选 D.法一：设直线 l 的倾斜角为，数形结合(图略)可知：min0，max263.法二：因为直线 l 与 x2y21 有公共点，所以设 l：y1k(x 3)，即 l：kxy 3k10，则圆心(0，0)到直线 l 的距离|3k1|1k2 1，得 k2 3k0，即 0k
4、3，故直线 l 的倾斜角的取值范围是0，3.考点一 直线的倾斜角与斜率命题点 直线倾斜角与斜率的关系1倾斜角 定义：x 轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 倾斜角的范围为 正向向上00，)2斜率 定义：一条直线的倾斜角 的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k，倾斜角是 90的直线没有斜率 3过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1y1y2x1x2(x1x2)正切值t an 4如图 1，0，2 时，随 增大 k 单调递增且 k0；当2，时，随 增大 k
5、单调递增且 kk10k4k3(斜率为 k1，k2，k3，k4 的直线对应的倾斜角为 1，2，3，4)，432210.在平面直角坐标系中，直线越陡，|k|越大 1(2017开封调研)设 A(1，2)，B(3，1)，若直线 ykx 与线段 AB 没有公共点，则 k 的取值范围是()A(，2)13，B.，13(2，)C.2，13D.13，2解析：选 C.如图所示，直线 ykx 过定点 O(0，0)，kOA2，kOB13.若直线 ykx 与线段 AB 没有公共点，则直线 OA 逆时针旋转(斜率增大)到 OB 都是满足条件的直线数形结合得 k2，13.故选 C.2(2017成都七中模拟)已知函数 f(x
6、)asin xbcos x，若f4x f4x，则直线 axbyc0 的倾斜角为()A.4 B.3C.23D34解析：选 D.由 f4x f4x 知函数 f(x)的图象关于直线 x4对称，所以 f(0)f2，所以ba，则直线 axbyc0 的斜率为ab1，又倾角范围为0，)，故其倾斜角为34，选 D.1求倾斜角 的取值范围的一般步骤(1)求出斜率 ktan 的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角 的取值范围 2求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)来求斜率(2)已知倾斜角 或 的三角函数值时，由 ktan(90)来求斜率
7、(3)方程为 AxByC0(B0)的直线的斜率为 kAB.考点二 求直线方程命题点 直线方程的形式与条件直线的方程 名称几何条件方 程局限性 点斜式过点(x0，y0)，斜率为 kyy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线 斜截式斜率为 k，纵截距为 bykxb不含垂直于 x 轴的直线 两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)yy1y2y1 xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 一般式AxByC0(A，B 不全为 0)1求适合下列条件的直线方程(1)经过点 A(3
8、，4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是解析：设直线在 x，y 轴上的截距均为 a.若 a0，即直线过点(0，0)及(3，4)，直线的方程为 y43x，即 4x3y0.若 a0，则设所求直线的方程为xaya1，又点(3，4)在直线上，3a4a1，a7，直线的方程为 xy70.答案：4x3y0 或 xy702一条直线经过点 A(2，3)，并且它的倾斜角等于直线 y 13 x 的倾斜角的 2 倍，则这条直线的一般式方程是解析：直线 y 13x 的倾斜角 30，所以所求直线的倾斜角为 60，斜率 ktan 60 3.又该直线过点 A(2，3)，故所求直线为 y(3)3(x2)，即 3xy3 30.
9、答案：3xy3 303过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12 的直线方程为解析：由题设知截距不为 0，设直线方程为xay12a1，又直线过点(3，4)，从而3a 412a1，解得 a4 或 a9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.答案：4xy160 或 x3y904一条直线经过点 A(2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为解：设直线的斜率为 k(k0)，则直线方程为 y2k(x2)，由 x0 知 y2k2.由 y0 知 x2k2k.由12|2k2|2k2k1.解得 k12或 k2.故直线方程为 x2y20 或 2xy20.答案：x2y20 或
10、 2xy20求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程考点三 直线方程的应用命题点 x 与 y 的二元一次关系1.为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量 AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 E(3
11、0，0)、F(0，20)，直线 EF 的方程为 x30 y201(0 x30)易知当矩形草坪的一个顶点在 EF 上时，可取最大值，在线段 EF 上取点 P(m，n)，作 PQBC 于点 Q，PRCD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S，则 S|PQ|PR|(100m)(80n)又m30 n201(0m30)，n2023m.S(100m)802023m 23(m5)218 0503(0m30)当 m5 时，S 有最大值，这时|EP|PF|51.所以当草坪矩形的两边在 BC、CD 上，一个顶点在线段 EF上，且这个顶点分有向线段 EF 成 51 时，草坪面积最大 2已知直线 l 过点 P(3
12、，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程2已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程解：由题意设直线方程为 xayb1(a0，b0)，3a2b1.由基本不等式知3a2b26ab，即 ab24(当且仅当3a2b，即 a6，b4 时等号成立)又 S12ab122412，此时直线方程为x6y41，即 2x3y120.ABO 面积的最小值为 12，此时直线方程为 2x3y120.在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最
13、值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.直线的委屈被遗忘的特殊情况典例(2017杭州调研)已知直线 l 过点 P(2，1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b，且满足 a3b.则直线 l 的方程为正解 若 a3b0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率 k12，直线方程为 x2y0.若 a3b0，设直线方程为xayb1，即 x3byb1.由于点 P(2，1)在直线上，所以 b13.从而直线方程为x3y1，即 x3y10.综上所述，所求直线方程为 x2y0 或 x3y10.答案 x2y0 或 x3y10易误 本题容易忽视直线过原点时的情况 警示 求直线方程时，要注意斜率是否
14、存在，注意截距是否为 0；注意区分截距与距离 求直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5 时的直线方程解：当直线斜率不存在时，所求直线方程为 x50，符合题意；当斜率存在时，设直线斜率为 k，则所求直线方程为 y10k(x5)，即 kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得|105k|k21 5，解得 k34.故所求直线方程为 3x4y250.综上知，所求直线方程为 x50 或 3x4y250.1考前必记(1)直线的斜率、倾斜角的定义及公式(2)直线方程的形式及有关概念2答题指导(1)看到求斜率，想到直线的倾斜角或点的坐标(2)看到求倾斜角，想到直线的位置及斜率的关系(3)看到使用直线的点斜式、斜截式，想到斜率是否存在(4)看到使用直线的两点式、截距式，想到直线是否平行于坐标轴或者过原点课时规范训练