1、32双曲线的简单性质授课提示：对应学生用书第24页双曲线的几何性质类型1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c范围x(，a a，)y(，a a，)对称性关于x轴，y轴，原点对称顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx疑难提示双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系(1)双曲线1的渐近线为yx，双曲线1的渐近线为yx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定(3)若已知渐近线方程为m
2、xny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决分两种情况设出方程进行讨论依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2n2y2(0)，求出即可想一想1双曲线的离心率对双曲线有何影响？提示：e，e1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大(1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小 ，e越大，越大，双曲线开口越大(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e.练一练2双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4D4解析：2x2y28，1，a2，2a4.答案：C3若双曲线1(b0)的渐近线方程为yx，则b等于_解析：1(b0)的渐近线为ybx
3、，由题意知b，b1.答案：1授课提示：对应学生用书第25页探究一由双曲线方程研究其几何性质典例1求双曲线9y216x2144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率解析双曲线方程可化为1.因为a4，b3，c2a2b225，所以c5.所以实轴长2a8；虚轴长2b6；焦点坐标为(0，5)，(0,5)；顶点坐标为(0，4)，(0,4)；渐近线方程为yx；离心率e.根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”对称轴、渐近线；“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位
4、置无关双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关 1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的虚轴长为()A3B6C9 D12解析：因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，且离心率为e，所以c5，a4，故b2c2a29，所以虚轴长为2b6.答案：B2求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图解析：将4x2y24变形为x21，即1.a1，b2，c.因此顶点为A1(1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(，0)，F2(，0
5、)；实半轴长是a1，虚半轴长是b2；离心率e；渐近线方程为yx2x，草图如图所示探究二由双曲线的几何性质求标准方程典例2根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，)，离心率为；(2)与椭圆1有公共焦点，且离心率e；(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212，又离心率为2；(4)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)解析(1)若双曲线的焦点在x轴上，设为1(a0，b0)e，2，即a2b2.又过点P(3，)，有1，由得a2b24，双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设为1(a0，b0)同理有a2b21由得a2b24(不合题意，舍去)综上
6、，双曲线的标准方程为1.(2)由椭圆方程1，知长半轴a13，短半轴b12，半焦距c1，所以焦点是F1(，0)，F2(，0)因此双曲线的焦点也为(，0)和(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)由题设条件及双曲线的性质，有，解得.即双曲线方程为y21.(3)设双曲线方程为1(a0，b0)，因|F1F2|2c，而e2，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2ac.由余弦定理得(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos 60)化简，得4c2c2|PF1|PF2|.又SPF1F2|PF1|PF2|sin 6012，所以|P
7、F1|PF2|48.即3c248，c216，得a24，b212.故所求双曲线的方程为1.(4)双曲线1的渐近线方程为yx，设所求双曲线方程为(0)将点(3,2)代入得，双曲线方程为，即1.1已知双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏2若已知双曲线的渐近线方程为0，求双曲线方程时，为避免讨论，可设双曲线方程为(0)，再根据其他条件确定的值 3与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析
8、：设与双曲线x21有共同的渐近线的双曲线方程为x20，双曲线过点(2,2)，4，3，所求双曲线的方程为x23，即1，故选B.答案：B4(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3，2)的双曲线方程解析：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)依题意可得故所求双曲线方程为y2x21.(2)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21，.1，解得所求的双曲线方程为1.探究三直线和双曲线的位置关系典例3已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，讨论双曲线与直线公共点的个数解析联立方程组消去y，得(1k2)x22
9、k2xk240.(*)(1)当1k20，即k1时，方程(*)化为2x5，方程组有一解故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行(2)当1k20，即k1时；由4(43k2)0，得k且k1，此时方程(*)有两解，方程组有两解故直线与双曲线有两个公共点由4(43k2)0，得k，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切由4(43k2)0，得k，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点；综上所述，当k1或k时，直线与双曲线有一个公共点；当k1或1k1或1k时，直线与双曲线有两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去y，得到
10、一个方程ax2bxc0，则(1)a0时，方程为一元二次方程0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点；0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点；0，则直线与圆锥曲线相离，没有公共点(2)a0，b0时，直线与圆锥曲线有一个公共点，对抛物线来说，此时直线与对称轴平行或重合；对双曲线来说，此时直线与渐近线平行 5直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l过点P(2,0)和线段AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围解析：由(x1)，消去y，得(k21)x22kx20，直线m与双曲线的左支有两个交点，方程有两个不相等的负实数根，1k.设M(x0，y0)，则，由P(2,0)，
11、M(，)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b.设(k)2k2k22(k)2.(k)在(1，)上为减函数，()(k)(1)且(k)0.(2)(k)0或0(k)1，b2.即l在y轴上的截距b的取值范围为(，2)(2，)探究四与渐近线、离心率有关的问题6若双曲线1(a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()AyxByxCyx Dy2x解析：由题可知2a2cc，则4a2c2a2b2，解得3，所以，故该双曲线的渐近线方程是yx，选C.答案：C7已知双曲线的渐近线方程为yx，求此双曲线的离心率解析：当焦点在x轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，得，ba，ca，e；当焦点在y轴上时，其渐近线
12、方程为yx，依题意，得，ba，ca，e.此双曲线的离心率为或.8已知双曲线的渐近线方程是yx，焦距为2，求双曲线的标准方程解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a10，b10)由题意知，解得，此时双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1(a20，b20)，由题意知，解得，此时双曲线的标准方程为1.综上，所求双曲线的标准方程为1或1.9已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于M，N两点，若MFNF，设MNF，且，求该双曲线的离心率的取值范围解析：如图，设双曲线的左焦点为F，半焦距为c，连接MF，NF.由于MFNF，所
13、以四边形FNFM为矩形，故|MN|FF|2c.在RtNFM中，|FN|2ccos ，|FM|2csin ，由双曲线的定义可得2a|NF|NF|NF|FM|2ccos 2csin 2ccos，e.，cos，e1，即双曲线的离心率的取值范围是，1忽视双曲线焦点位置致误典例已知双曲线1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为_解析当双曲线的焦点在x轴上时，因为一条渐近线方程为yx，所以，所以离心率e.当双曲线的焦点在y轴上时，因为一条渐近线方程为yx，所以，这时.所以离心率e.故双曲线的离心率为或.答案或错因与防范(1)本例易主观认为焦点在x轴上，忽略考虑焦点在y轴上的情况而漏解(2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论
