1、第二章单元质量评估本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150分，考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)答题表题号123456789101112答案一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1若方程 x2|k|3 y24k1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是()Ak3 或 3k4 B3k4Ck4 D3k42如果方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是()A(1，)B(1,2)C.12，1D(0,1)3以双曲线x24y2121 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(
2、)A.x216y2121 B.x212y2161C.x216y241 D.x24y21614以椭圆x216y291 的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程是()A.x216y2481B.x29y2271C.x216y2481 或y29x2271D以上都不对5若抛物线 y24x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 10，则 P 点坐标为()A(9,6)B(9，6)C(6,9)D(6，9)6双曲线x24y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A.25B.45C.2 55D.4 557抛物线 y212x 的准线与双曲线x29y231 的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A3 3B2 3C2 D.38
3、已知椭圆 C 的方程为x216y2m21(m0)，如果直线 y 22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为()A2 B2 2C8 D2 39已知抛物线 y24x 的准线过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点，且准线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为()A.32B.12C.13D.1410过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若BP2PA且OQ AB1，则点 P 的轨迹方程是()A3x232y21(x0，y0)B
4、3x232y21(x0，y0)C.32x23y21(x0，y0)D.32x23y21(x0，y0)11已知椭圆 x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A3 2B2 3C.303D.3 6212(2016新课标全国卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案1D 若方程表示双曲线，则|k|30，4k0或|k|30，解得3k4
5、，故选 D.2D 将椭圆方程变为x22y22k1，由题意，得2k2，解得 0k0)上，16m21616m22m2 1，可得 m2 2.9B 抛物线 y24x 的准线方程为 x1，抛物线 y24x 的准线过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点，椭圆的左焦点为(1,0)，c1.O 为坐标原点，AOB 的面积为32，122b2a 132，b2a a21a32，整理，得 2a23a20，解得 a2 或 a12(舍)，eca12.故选 B.10D 因为 Q 与 P(x，y)关于 y 轴对称，所以 Q(x，y)，由BP2PA，得 A32x，0，B(0,3y)所以AB32x，3y.从而由OQ AB(x，
6、y)32x，3y 1，得32x23y21，其中 x0，y0，故选 D.11C 设弦端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x212y214，x222y224，x21x222(y21y22)，此弦的斜率 ky1y2x1x2 x1x22y1y212，此弦所在的直线方程为 y112(x1)，即 y12x32.代入 x22y24，整理，得 3x26x10，x1x213，x1x22，|AB|x1x224x1x21k24413114 303.12A 设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为xaym1，由题意可知 M(c，mmca)，(0，m2)和 B(a,0)三点共线，则mmca m2cm2a，化
7、简得 a3c，则 C 的离心率 eca13.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在题中横线上)13设中心在原点的椭圆与双曲线 2x22y21 有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_14过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线与抛物线分别交于 A，B 两点(点 A 在 x 轴上方)，则|AF|BF|_.15过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_16过双曲线x2a2y2b2
8、1(a0，b0)的左焦点 F 作圆 x2y2a24 的切线，切点为 E，交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)已知椭圆的中心在原点，且经过点 P(3,0)，离心率 e2 23，求椭圆的标准方程18(12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx，且过点(4，10)(1)求双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在此双曲线上，求MF1 MF2.答案13.x22y21解析：双曲线的焦点坐标为(1,0)，(1,0)，离心率为 2.设椭
9、圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 eca 22.因为 c1，所以 a 2.所以b a2c21.故所求椭圆的方程为x22y21.143解析：记|AF|a，|BF|b，准线为 l，分别过 A，B 作 AA1l，BB1l，则|AA1|AF|a，|BB1|BF|b，再过 B 作 BMAA1 于 M.在 RtBMA 中，ABM30，AMab，ABab，于是 ab2(ab)，a3b，故所求为 3.15.22解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.、两式相减并整理得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.把已知条件代入上式得，12b2a222
10、，b2a212，故椭圆的离心率 e1b2a2 22.16.102解析：如图，设双曲线的右焦点为 F1，连接 OE，PF1.O 为 FF1 的中点，E 为 PF 的中点，OEPF1 且|OE|12|PF1|，|PF1|2|OE|a.|PF|PF1|2a，|PF|3a.又 OEFP，FPPF1，(3a)2a24c2，故 e 102.17解：(1)当焦点在 x 轴上时，设其方程为x2a2y2b21(ab0)离心率 e2 23，ca2 23.又a2b2c2，a3b.又椭圆经过点 P(3,0)，9a2 0b21，a29，b21.椭圆的标准方程为x29y21.(2)当焦点在 y 轴上时，设其方程为y2a2
11、x2b21(ab0)同理可得a3b.又椭圆过点 P(3,0)，0a2 9b21，b29，a281.椭圆的标准方程为y281x291.综上可知，椭圆的标准方程为x29y21 或y281x291.18解：(1)双曲线的一条渐近线方程为 yx，设双曲线的方程为 x2y2(0)把点(4，10)代入双曲线的方程得 42(10)2，6.所求双曲线的方程为 x2y26.(2)由(1)知双曲线的方程为 x2y26.c2 3，不妨令 F1(2 3，0)、F2(2 3，0)点 M 在双曲线上，32m26，m23.MF1 MF2(2 33，m)(2 33，m)(3)2(2 3)2m2330.19.(12 分)如图，
12、已知抛物线 C1：x2byb2 经过椭圆 C2：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点(1)求椭圆 C2 的离心率；(2)设点 Q(3，b)，又 M，N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点，若QMN 的重心在抛物线 C1 上，求 C1 和 C2 的方程20(12 分)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.答案19.解：(1)因为抛物
13、线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1(c,0)，F2(c,0)，所以 c2b0b2，即 c2b2.由 a2b2c22c2，得椭圆 C2 的离心率 e 22.(2)由(1)可知 a22b2，则椭圆 C2 的方程为x22b2y2b21.联立抛物线 C1 的方程 x2byb2 得 2y2byb20，解得 yb2或 yb(舍去)，所以 x 62 b，即 M 62 b，b2，N62 b，b2.所以QMN 的重心坐标为(1,0)因为重心在抛物线 C1 上，所以 12b0b2，得 b1.所以 a22.所以抛物线 C1 的方程为 x2y1，椭圆 C2 的方程为x22y21.20解：(1)根据 c a2b
14、2及题设知 Mc，b2a，2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12或ca2(舍去)故 C 的离心率为12.(2)由题意，知原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P3，12 在椭圆 E上(1)求椭圆 E 的方程；(2)设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM
15、 与椭圆 E 交于 C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.22(12 分)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程答案21.解：(1)由已知，a2b.又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点 P(3，12)，故 34b214b21，解得 b21，所以椭圆 E 的方程是x24y21.(2)设直线 l 的方程为 y12xm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组x24y21，y12xm，得 x22mx2m220，方程的判别式为 4(2m2)，由 0，得 2m20，解得 2m0，即 k234时，x1,28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k214k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2 或 y 72x2.