1、4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解课后篇巩固提升合格考达标练1.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)答案D解析f(x)=ln2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln2-10,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.2.(2021江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(kZ),则k=()A.1B.2C.3D.4答案A解析因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-10,所以函数的零点在区间(1,
2、2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(kZ)内,所以k=1,故选A.3.已知函数f(x)=x2-2x,x0,1+1x,x0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x0时,符合题意;令1+1x+3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.4.函数f(x)=x3-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个答案B解析作出y=x3与y=12x的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0
3、)0,f(2)0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点答案AC解析因为f(0)0,f(2)0,所以f(0)f(1)0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0x11x22,则实数k的取值范围是.答案k0k15解析因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0x11x20,且f(1)=-4k0,所以0k15.故实数k的取值范围为k0k
4、15.7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.解令x2-mx+a-m=0,因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即=(-m)2-4(a-m)0,即am24+m对任意的实数m恒成立.m24+m=14(m+2)2-1-1,a-1.实数a的取值范围是(-,-1.等级考提升练8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1上,则m的取值范围为()A.(-4,0)B.(-,-4)(0,+)C.(-,-40,+)D.-4,0)答案D解析由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定
5、义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(0,1上存在零点,则满足f(0)0,f(1)0,即log2(0+1)+30+m0,log2(1+1)+31+m0,解得-4m0,则f(x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析f(x)=x2-2x,x0,1x-1,x0,令f(x)=0,当x0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);当x0时,1x-1=0,解得x=1.所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.10.已知实数x0是函数f(x)=x-6x的一个零点,若0x1x0x2,则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0
6、,f(x2)0答案B解析因为y=x与y=-6x在(0,+)上单调递增,所以f(x)=x-6x在(0,+)上单调递增,且f(x0)=0,所以当0x1x0x2时,有f(x1)f(x0)f(x2),即f(x1)0.故选B.11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:x123456y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88则下列说法正确的是()A.函数y=f(x)在区间1,6上有3个零点B.函数y=f(x)在区间1,6上至少有3个零点C.函数y=f(x)在区间1,6上至多有3个零点D.函数y=f(x)在区间1,2上无零点答案B解析由题中表格可知,
7、f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,但函数y=f(x)在1,2上也有可能存在一个或多个零点.同理,在5,6上也如此.12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab答案C解析,是函数f(x)的两个零点,f()=f()=0.又f(a)=f(b)=-20,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在,之间.故选C.13.已知函数f(x)=2x-1,x1,(x-a)(x-2a),x1,若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是()A.0,12B.12,2C.12,1D.(1,2)
8、答案C解析函数f(x)=2x-1,x1,(x-a)(x-2a),x1,若f(x)恰有两个零点,可得2x-1=0,解得x=01;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,由a1,2a1,可得a;由2a1,a1,可得12a1,综上可得a的取值范围是12,1.故选C.14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.答案abc解析画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C
9、的横坐标,由图象可知ab0,ex+1,x0.(1)若f(a)=1,求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.解(1)当a0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=352,均满足条件.当a0时,ea0,ea+11,f(a)=1无解.故a=352.(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.当x0时,f(x)单调递增,10时,f(x)在0,32上单调递减,在32,+上单调递增,f32=-14.故当1m0,则2+2=(+)2-2=-k2-10k-6=-(k+5)2+19,-4k-43,2+2在区间-4,-43内的取值范围为509,18.故2+2的取值范围为509,18.6
