1、2抛物线21抛物线及其标准方程授课提示：对应学生用书第16页一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线二、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y疑难提示抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线
2、l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如到点F(1,0)与到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线想一想1如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定练一练2若|xy3|0，则动点M(x，y)的轨迹是()A一条线段B圆C椭圆 D抛物线解析：由已知得，这表明点M(x，y)到定点F(3,1)的距离与到定直线l：xy30的距离相等又Fl，所以由抛物线的定义，知动点M(x，y)的轨迹是抛物
3、线答案：D3抛物线y24x的准线方程是_，焦点坐标是_解析：由y24x知1，所以准线方程为x1，焦点坐标为(1,0)答案：x1(1,0)授课提示：对应学生用书第17页探究一由抛物线求焦点和准线典例1求抛物线y2ax2(a0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值解析将y2ax2化为标准方程得x2y.焦点为(0，)，准线方程为y，顶点坐标为(0,0)，当a0时，开口向上，p；当a0时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是x；当a0时，开口向右；a0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p(3)，解得p.所以所求抛物线方程为x2y.(2)设所求抛物线方程为y22px(p
4、0)或x22py(p0)，将点(4，8)的坐标代入y22px，得p8，将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点坐标为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y.当焦点坐标为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.(4)由焦点到准线的距离为，可知p.所以所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.1确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开
5、口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)2求抛物线标准方程的方法特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论 3经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28yBy2x或y28xCy28x Dx28y解析：点P在第四象限，抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线的方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，p1，抛物线的方程为y2x.当开口向下时，设抛物线的方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，抛物线的方程
6、为x28y.答案：A4根据下列条件求抛物线的标准方程(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点p(m,1)到焦点F的距离为6；(3)焦点在直线x3y150上解析：(1)由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，因为焦点到准线的距离为6，所以p6，故抛物线的标准方程为y212x.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)因为点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以16，解得p10，所以抛物线的标准方程为x220y.(3)因为抛物线的焦点在直线x3y150上，所以易知抛物线的焦点坐标为(15,0)或(0，5)，所以抛物线开口向右或向下若抛
7、物线开口向右，则可设抛物线的标准方程为y22p1x(p0)，于是根据焦点坐标为(15,0)，得15，解得p130，所以抛物线的标准方程是y260x；若抛物线开口向下，则可设抛物线的标准方程为x22p2y(p20)，于是根据焦点坐标为(0，5)，得5，解得p210，所以抛物线的标准方程是x220y.综上可知，所求抛物线的标准方程是y260x或x220y.探究三抛物线的实际应用典例3一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值解析以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛
8、物线方程为x22py(p0)，则点B的坐标为(，)，由点B在抛物线上，得()22p()，p，所以抛物线方程为x2ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y.由点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21或a0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米探究四抛物线定义的应用6若抛物线的焦点为(2,2)，准线方程为xy10.求此抛物线方程解析：设P(x，y)是
9、抛物线上任一点，由抛物线的定义可知：，两边平方整理可得，此抛物线方程为x22xyy26x6y150.7已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程解析：解法一设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|r1，即|x1|1，化简，整理得y28x.所以点P的轨迹方程为y28x.解法二如图，作PK垂直于直线x1，垂足为K.PQ垂直于直线x2，垂足为Q，则|KQ|1，所以|PQ|r1.又|AP|r1，所以|AP|PQ|，故点P到圆心A(2,0)的距离和定直线x2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线x2为准
10、线所以2，所以p4.所以点P的轨迹方程为y28x.8某地地震发生后，由于公路破坏严重，救灾物资需水运到合适地点再转运到受灾严重的A，B两地，如图所示，需要在河岸PQ上某点M处抢修一码头和到A，B两地的公路，经测算，A地在损毁的公路l正东方向2 km处(方位：上北下南)，B地在A地北偏东60方向2 km处，河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等已知修建公路的费用均为每千米2万元，修建码头的费用是10万元，则抢修费用最低为多少万元？解析：因为河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等，所以河流沿岸所在曲线为抛物线于是，可建立如图所示的平面直角坐标系从而，依题意可得点A(1,0)，直线l
11、：x1，点B(4，)过点B，M分别作BEl，MFl，垂足分别为E，F，则由抛物线的定义，得|MA|MB|MF|MB|BE|，当且仅当E，M，B三点共线(M在线段BE上)时取等号又|BE|4(1)5，所以(|MA|MB|)min5.故总抢修费用最低为251020(万元)9设P是曲线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|PF|的最小值解析：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到
12、点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.因忽略抛物线定义中的限制条件致误典例若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是_(填椭圆、抛物线或直线)解析设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得，整理得x3y20.即P点的轨迹是直线x3y20.答案直线错因与防范本例易忽略抛物线定义中的限制条件(定义不在定直线上)而错填为抛物线要注意定义中的限制条件，不能忽略
