1、6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列各对向量中,不共线的是() A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(,-1),b=(1,)D.a=(1,),b=(,2)解析A,B,C中各对向量均不满足共线向量定理,D中b=a,两个向量共线.答案ABC2.(2019浙江高一期中)已知向量a,b满足a=(1,2),b=(2,0),则2a+b=()A.(4,4)B.(2,4)C.(2,2)D.(3,2)解析由题得2a+b=(2,4)+(2,0)=(4,4).答案A3.已知a=(-5,6),b
2、=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)解析a-3b+2c=0,(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故选D.答案D4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于()A.-2B.2C.-D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量ma+nb共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C5.已知四边形ABCD的三
3、个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析设顶点D的坐标为(x,y),因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,所以所以所以选A.答案A6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=.答案7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且ab,则3a+2b=.解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且ab,所以1m-22=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=
4、(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).又m=2n,解组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-
5、6).=-,(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).故=(-2,-4).10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?解(1)=(x,1),=(4,x).,x2=4,x=2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),
6、=(-2,1),此时A,B,C三点共线.又,A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=2时,A,B,C,D不在一条直线上;当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及的坐标.解a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)a=mb+nc,(5,-5)=m(-6,-3)+n(1
7、,8).(3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),x1=0,y1=20.M(0,20).设N(x2,y2),由=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).解得N(9,2).=(9,-18).12.如图,已知在AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.联立,解得x=,y=2,故点M的坐标为.能力提升练1
8、.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是()A.-1B.0C.1D.2解析a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,2(y2-2)-(-1)x2=0,x2=4-2y20,整理得y22,解得-y.y的取值范围是-.答案ABC2.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=,则等于()A.2B.C.-3D.-解析如图,由已知得,ABC=BAE=EAC=30,AEC=60,|=1,|=.=,0,|=3.=-3.答案C3.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“
9、;”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为()A.-1B.-2C.2D.解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),则=m+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.答案B4.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=.解析设=(m
10、,n),则=(-n,m),所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此.答案5.(2020内蒙古高一检测)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.解析因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.答案-26.(2019四川阆中中学高一期中)已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若=2,求点C的坐标.解由题意知,=(2,-2),=(
11、a-1,b-1).(1)A,B,C三点共线,2(b-1)-(-2)(a-1)=0,a+b=2.(2)=2,(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),解得点C的坐标为(5,-3).7.已知点O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.解如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.|=1,AOB=150,B(-cos 30,sin 30),B.|=3,C(-3sin 30,-3cos 30),即C.又A(2,0),-(2,0)=,=.素养培优练(2020上海高二检测)已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a(b+c);(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.解(1)a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),b+c=(10,k+7),又a(b+c),1(k+7)-210=0,解得k=13,当k=13时,a(b+c).(2)当k=1时,b=(2,1).c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n),解得