1、1.6 微积分基本定理内 容 标 准学 科 素 养1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义；2.会用微积分基本定理求函数的积分.培养直观想象训练逻辑思维提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 微积分基本定理预习教材P5153，思考并完成以下问题已知函数 f(x)2x1，F(x)x2x，则01(2x1)dx 与 F(1)F(0)有什么关系？提示：由定积分的几何意义知，01(2x1)dx12(13)12，F(1)F(0)2，故01(2x1)dxF(1)F(0)知识梳理(1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且
2、结论：ab f(x)dxF(x)f(x)F(b)F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系预习教材P54，思考并完成以下问题定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？提示：当被积函数 f(x)0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数 f(x)0不恒成立，则不相等知识梳理 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图，则ab f(x)dx(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则ab f(x)dx(3)当曲边梯形在 x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图，则ab f(x)dx特别地，若 S
3、上S 下，则ab f(x)dx.S上S下S上S下0 自我检测 1.等于()A B2C2 D2解析：答案：D2若1a2x1x dx3ln 2，则 a 的值是()A5 B4C3 D2解析：1a2x1x dx1a 2xdx1a 1xdxx2|a1ln x|a1a21ln a3ln 2，解得a2.答案：D探究一 利用微积分基本定理计算定积分例1 计算下列定积分：解析(1)法一：因为2x2x33 4xx2，所以232333212133203.(2)因为16x16(x1)5，所以12(x1)5dx16(x1)6|2116(21)616(11)616.(3)令F(x)ln xln(x1)ln xx1，则F(
4、x)1xx1.所以121xx1dx121x 1x1 dxln xx1|21ln 43.(4)因为3x(x 1x)23xx21x 3x26x3，所以12 3xx 1x2dx12(3x26x3)dx(x33x23x)|21(2332232)(133)19.方法技巧 处理复杂定积分问题的常见策略1先化简被积函数，再求定积分当被积函数为多项式的乘积形式，或为高次幂的三角函数式时，其原函数不易直接求出，通常我们要先将被积函数变形、化简为多项式，或对三角函数式降幂，再求原函数并进行定积分的计算2合理拆项适用于被积函数是分式，分母中的多项式可分解为几个因式的乘积，可进行裂项，并且裂项后仍为分式且分子中不含变
5、量的情况跟踪探究 1.计算下列定积分解析：(1)121x3cos x dx(ln x3sin x)|21(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(2)sin x2cos x2212sin x2cos x21sin x，(3)(x3)(x4)x27x12，03(x3)(x4)dx03(x27x12)dx13x372x212x|3013337232123 0272.探究二 计算分段或绝对值函数的积分例2 若f(x)x2，x0，cos x1，x0，求解析 又因为13x3 x2，(sin xx)cos x1，方法技巧 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质
6、，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪探究 2.设f(x)1x2，x1，1，x21，x1，2，则21 f(x)dx的值为()A.243B23 C.443D.43解析：根据定积分的性质可得 根据定积分的几何意义，可得等于以原点为圆心，1为半径的圆的面积的一半，答案：A3计算解析：(1)探究三 利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若0t f(x)dx6，则t_.(2)已知212(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解析(1)f(x)2x1，0t f(x)dx0t (2x1)dx(x2x)|t0t2t，令t2t
7、6.解得t3或t2(舍去)(2)12(kx1)dx12kx2x|2132k1.令232k14，解得23k2.答案(1)3(2)23，2延伸探究(1)若将例3(1)中的条件改为0t f(x)dxft2，求t.解析：由0t f(x)dx0t(2x1)dxt2t，又ft2 t1，t2tt1，得t1.(2)若将例3(1)中的条件改为0t f(x)dxF(t)求F(t)的最小值解析：F(t)01 f(x)dxt2tt12214(t0)，当t12时，F(t)min14.方法技巧(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参
8、数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪探究 4.(1)若则实数a等于()A1 B 2C1 D 3(2)设函数f(x)ax2c(a0)，若01 f(x)dxf(x0)，0 x01，则x0的值为_解析：(1)22 22 a1，所以 22 22 a1 22，解得 a 2.(2)因为 f(x)ax2c(a0)，且a3x3cx ax2c，所以01 f(x)dx01(ax2c)dxa3x3cx|10a3cax20c，解得 x0 33 或 x0 33(舍去)答案：(1)B(2)33 课后小结(1)求定积分的一些常用技巧对被积函数，要先化简，再求积
9、分若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分(2)由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数素养培优(1)误判积分变量易错案例：求定积分12(t2)dx.易错分析：误认为积分变量是t而得到错误的结果 72，考查定义理解、数学运算等核心素养自我纠正：令F(x)(t2)x，则F(x)t2，12(t2)dx(t2)x|212(t2)(t2)t2.(2)忽略函数的定义域致误易错案例：计算21 1xdx.易错分析：解答本题易产生如下错解(ln x)1x，21 1xdxln x|12ln(1)ln(2)事实上，(ln x)1x是在x0的基础上才成立的，ln(1)与ln(2)是无意的考查定义掌握、数学运算等核心素养自我纠正：如图，根据21 1xdx 的几何意义，可得21 1xdx12 1xdxln x|21ln 2(ln 1)ln 2.04 课时 跟踪训练
