1、 第 1 讲 导数的概念与导数的计算 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理 1.函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率0limx f（x0 x）f（x0）x0limx yx为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)0limx
2、 yx0limx f（x0 x）f（x0）x.(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0).2.函数 yf(x)的导函数 如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间内的导函数.记作 f(x)或 y.3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f
3、(x)sin_x f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0)f(x)axln_a f(x)ln x f(x)1x f(x)logax(a0，a1)f(x)1xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0).5.复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.诊 断
4、自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(3)(2x)x2x1.()(4)若 f(x)e2x，则 f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函数 f(x)在 x0处的导数，(f(x0)是常数 f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4)2.函数 yxcos xsin x 的导数为()A.xsin x B.xsin x C.xcos x D.xcos x 解析 y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos x
5、xsin x.答案 B 3.(选修 22P18AT7 改编)曲线 ysin xx在 x2 处的切线方程为()A.y0 B.y 2 C.y 42x 4 D.y 42x 解析 yxcos xsin xx2，y|x2 42，当 x2 时，y 2，切线方程为 y 2 42x2，即 y 42x 4.答案 C 4.(2017西安月考)设曲线 yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为 y2x，则 a_.解析 ya 1x1，由题意得 y|x02，即 a12，所以 a3.答案 3 5.(2017丽水调研)如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx8，则 f(5)_；f(5)_.解析 f(5
6、)1，f(5)583.答案 1 3 6.(2017舟山调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)12f(1)e2x2x22f(0)x，则 f(0)_；f(x)_.解析 f(x)12f(1)e2x2x22f(0)x，f(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，即 112f(1)e2，f(x)e2xx22x.答案 1 e2xx22x 考点一 导数的运算【例 1】分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2；(4)yln 12x.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1x ln
7、x1x ex.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)yx12sin x，y112cos x.(4)yln 12x12ln(12x)，y12112x(12x)112x.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.【训练
8、1】求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)ycos xex；(3)yxsin2x2 cos2x2；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)ycos xex（cos x）excos x（ex）（ex）2 sin xcos xex.(3)yxsin2x2 cos2x2 12xsin(4x)12xsin 4x.y12sin 4x12x4cos 4x 12sin 4x2xcos 4x.(4)令 u2x5，yln u.则 y(ln u)u12x5222x5，即 y22x5.考点二 导数的几何意义(多维探究)命题角度一 求切线的方
9、程【例 21】(1)函数 f(x)ln x2xx的图象在点(1，2)处的切线方程为()A.2xy40 B.2xy0 C.xy30 D.xy10(2)已知曲线 y13x3上一点 P2，83，则过点 P 的切线方程为_.解析(1)f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故函数 f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为 y(2)x1，即 xy30.(2)设切点坐标为x0，13x30，由 y13x3 x2，得 y|xx0 x20，即过点 P 的切线的斜率为 x20，又切线过点 P2，83，若 x02，则 x2013x3083x02，解得 x01，此时切线的斜率为 1；若 x02，则切线的斜率为 4.
10、故所求的切线方程是 y83x2 或 y834(x2)，即 3x3y20 或 12x3y160.答案(1)C(2)3x3y20 或 12x3y160 命题角度二 求参数的值【例 22】(1)已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为()A.1 B.2 C.1 D.2(2)(2017温州调研)若函数 f(x)12x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)设切点为(x0，y0)，y 1xa，所以有y0 x01，1x0a1，y0ln（x0a），解得x01，y00，a2.(2)f(x)12x2axln x，f(x)xa1x.f(x)存在垂直于 y
11、 轴的切线，f(x)存在零点，x1xa0 有解，ax1x2(x0).答案(1)B(2)2，)命题角度三 公切线问题【例 23】(2015全国卷)已知曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_.解析 法一 yxln x，y11x，y|x12.曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切，a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行).由y2x1，yax2（a2）x1消去 y，得 ax2ax20.由a28a0，解得 a8.法二 同法一得切线方程为 y2x1.设 y2x
12、1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由2ax0（a2）2，ax20（a2）x012x01，解得x012，a8.答案 8 规律方法(1)求切线方程的方法：求曲线在点 P 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在点 P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点 P 的切线，则 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切
13、点在曲线上.【训练 2】若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx3和 yax2154 x9(a0)都相切，则 a 的值为()A.1 或2564 B.1 或214 C.74或2564 D.74或 7 解析 由 yx3得 y3x2，设曲线 yx3上任意一点(x0，x30)处的切线方程为 yx303x20(xx0)，将(1，0)代入得 x00 或 x032.当 x00 时，切线方程为 y0，由y0，yax2154 x9得 ax2154 x90，15424a90 得 a2564.当 x032时，切线方程为 y274 x274，由y274 x274，yax2154 x9得 ax23x940，324a940
14、 得 a1.综上知，a1 或 a2564.答案 A 思想方法 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.易错防范 1.求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a 相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.