1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 4 课时 数列求和 考纲点击1.转化为等差、等比数列，用公式法求数列的和.2.用裂项相消法求和.3.用错位相减法求和.4.数列求和与不等式证明或求解相结合.1(2015高考课标卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由 an0，得 an1a
2、n2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 可知 bn1anan11（2n1）（2n3）1212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 121315 1517 12n112n3 n3（2n3）.2(2015高考山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列1anan1 的前 n 项和为n2n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(an1)2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)设数列an的公差为 d，令 n1，得 1a1a213，所以
3、 a1a23.令 n2，得 1a1a2 1a2a325，所以 a2a315.由解得 a11，d2，所以 an2n1.经检验，符合题意(2)由(1)知 bn2n22n1n4n，所以 Tn141242n4n，所以 4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1 4（14n）14n4n1 13n34n143，所以 Tn3n194n1494（3n1）4n19.3(2016高考天津卷)已知an是等比数列，前 n 项和为Sn(nN*)，且 1a1 1a2 2a3，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN*，bn 是 log2an 和 log2an1 的等差中项，求数列(
4、1)nb2n的前 2n 项和解：(1)设数列an的公比为 q.由已知，有 1a1 1a1q 2a1q2，解得 q2，或 q1.又由 S6a11q61q 63，知 q1，所以 a112612 63，得 a11.所以 an2n1.(2)由题意，得 bn12(log2anlog2an1)12(log22n1log22n)n12，即bn是首项为12，公差为 1 的等差数列 设数列(1)nb2n的前 n 项和为 Tn，则 T2n(b21b22)(b23b24)(b22n1b22n)b1b2b3b4b2n1b2n2n（b1b2n）22n2.考点一 分组转化求和命题点 数列求和的方法anbncn 或 anb
5、n n为奇数cn n为偶数，数列bn，cn 是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an 的前 n 项和1已知函数 f(n)n2（当n为奇数时），n2（当n为偶数时），且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a100 等于()A0 B100C100D10 200解析：选 B.由题意，得 a1a2a3a100 1222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100.故选 B.(1)从通项公式入手，通过拆、并等手段，使通项成为 n 个等差，或等比形式的和(或差)，可转化为公式法求和(2)若数
6、列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列(常数列)求和考点二 裂项相消法求和命题点 裂项相消法的基本形式形如1anbn的数列可利用裂项相消法 常见的裂项公式(1)1n（n1）；(2)1n（nk）；(3)1（2n1）（2n1）；1212n112n11n 1n11k1n 1nk(4)1n（n1）（n2）121n（n1）1（n1）（n2）；(5)1n nk1k(nk n)1已知数列an是递增的等比数列，且 a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn 为数列an的前 n 项和，bn an1SnSn1，求数列bn的前n 项和 Tn.解：(1)由题设知 a1a4a2a38，
7、又 a1a49，可解得a11，a48或a18，a41(舍去)由 a4a1q3 得公比 q2，故 ana1qn12n1.(2)Sna1（1qn）1q2n1.又 bn an1SnSn1Sn1SnSnSn1 1Sn 1Sn1，所以 Tnb1b2bn1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn1 1S1 1Sn1112n11.2已知等差数列an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an 的通项公式；(2)令 bn(1)n1 4nanan1，求数列bn 的前 n 项和 Tn.解：(1)因为 S1a1，S22a1212 22a12，S44a1432 24a11
8、2，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11，所以 an2n1.(2)bn(1)n1 4nanan1(1)n14n（2n1）（2n1）(1)n112n112n1.当 n 为偶数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1112n1 2n2n1.当 n 为奇数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1112n12n22n1.所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.或Tn2n1（1）n12n1.通过多写几个前面的项和最后的几项，采取“试消”的方法来总结规律，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项考点三
9、错位相减法求和命题点 错位相减法求和的适用条件(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前 n 项和可用此法来求即求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(2)关注点：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式 1已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 ann2n，则 Sn解析：ann2n Sn121222323(n1)2n1n2n 2Sn122223324(n1)2nn2n1 得Sn2222
10、32nn2n+12（12n）12n2n+12n+12n2n+1 Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n122(2016高考山东卷)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.求数列bn的通项公式；令 cn（an1）n1（bn2）n，求数列cn的前 n 项和 Tn.解：由题意知当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S111，所以 an6n5.设数列bn的公差为 d.由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，解得 b14，d3.所以 bn3n1.由知 cn（6n6）n1（3n3）n 3(n1)2n1.又 Tnc1c2cn，得
11、 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得 Tn322223242n1(n1)2n2 344（12n）12（n1）2n2 3n2n2，所以 Tn3n2n2.错位相减法求和的具体步骤步骤 1写出 Snc1c2cn；步骤 2等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qSnqc1qc2qcn；步骤 3两式错位相减转化成等比数列求和；步骤 4两边同除以 1q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨论讨论数列项数奇偶性求和典例 等比数列an 中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一
12、列第二列第三列 第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an 的通项公式；(2)若数列bn 满足：bnan(1)nln an，求数列bn 的前 n 项和Sn.解(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意 因此 a12，a26，a318.所以公比 q3.故 an23n1.(2)因为 bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)
13、nnln 3.所以当 n 为偶数时，Sn213n13 n2ln 33nn2ln 31；当 n 为奇数时，Sn213n13(ln 2ln 3)n12 n ln 3 3nn12 ln 3ln 21.综上所述，Sn3nn2ln 31，n为偶数，3nn12 ln 3ln 21，n为奇数.回顾反思(1)从表中选数字组成等比数列，就是试验法，先确定 a2，再看是否满足 a22a1a3.(2)当an 为等比数列，且 an0 时，则 ln an 为等差数列(3)对于通项中含有(1)n的符号变化的要分n的奇偶性求和(2017广东湛江一模)已知数列dn满足 dnn，等比数列an为递增数列，且 a25a10，2(a
14、nan2)5an1，nN*.(1)求 an；(2)令 cn1(1)nan，不等式 ck2 014(1k100，kN*)的解集为 M，求所有 dkak(kM)的和解：(1)设an的首项为 a1，公比为 q，所以(a1q4)2a1q9，解得 a1q.又因为 2(anan2)5an1，所以 2(ananq2)5anq.则 2(1q2)5q，2q25q20，解得 q12(舍)或 q2，所以 an22n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n，dnn.当 n 为偶数时，cn12n2 014，即 2n2 013，不成立；当 n 为奇数时，cn12n2 014，即 2n2 013.因为 2101 024，
15、2112 048，所以 n2m1，5m49.则dk组成首项为 11，公差为 2 的等差数列，ak(kM)组成首项为 211，公比为 4 的等比数列，则所有 dkak(kM)的和为45（1199）2211（1445）142 47521012 048321015 3773.1考前必记(1)等差、等比数列的求和公式(2)常见的裂项公式(3)错位相减法的实施过程2答题指导(1)看到等差、等比数列求和，想到它们的求和公式(2)看到非等差、等比数列，想到拆项、并项转化为等差、等比数列(3)看到通项为1f（n）g（n）形式的数列求和，想到裂项相消法(4)看到通项为等差与等比积的形式，想到错位相减法求和课时规范训练