1、3模拟方法概率的应用考纲定位重难突破1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.重点：几何概型的特点及概念. 难点：应用几何概型的概率公式求概率.授课提示：对应学生用书第48页自主梳理1几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关即P(点M落在G1)，则称这种模型为几何概型(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比2几何概型概率的计算几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概
2、率的计算公式如下：P(A)双基自测1几何概型与古典概型的区别是()A几何概型的基本事件是等可能的B几何概型的基本事件的个数是有限的C几何概型的基本事件的个数是无限的D几何概型的基本事件不是等可能的解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.答案：C2有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：四个选项中小明中奖的概率分别为，故应选A中的游戏盘答案：A3在区间1，3上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则实数m的值为()A0B1C2 D3解析：区间1，3的区间长度为4.不等式|x|m的解集
3、为m，m，区间长度为2m，由，得m1.答案：B授课提示：对应学生用书第49页探究一与长度、角度有关的几何概型典例1某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率解析设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T5，T2T10，如图记等车事件大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5.所以P(A).(1)与长度有关的几何概型概率的求法与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的
4、区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A).与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤a找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D的长度b找到事件A发生时对应的区域d，确定d的边界点是问题的关键c利用几何概型概率公式求概率(2)与角度有关的几何概型概率的求法如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A).解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的那么他投中阴影部分的概率为_解
5、析：圆盘对应的圆心角为360，阴影部分对应的圆心角为75，故投中阴影部分的概率P.答案：探究二与面积有关的几何概型典例2一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD，DC2，BC1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率解析过点D作DFAB于点F，如图所示在RtAFD中，因为AD，DFBC1，所以AF1，A，所以梯形ABCD的面积S1(221)1.扇形DAE的面积S2()2.根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P1.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值此时，只需分清各自区域特
6、征，分别计算其面积，以公式P(A)计算事件的概率即可2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为()A.B.C. D.解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则Ra，所以正三角形的面积为a2，圆的面积SR2a2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P，故选B.答案：B探究三与体积有关的几何概型典例3正方体ABCDABCD的棱长为a，在正方体内随机取一点M.求点M落在三棱锥BABC内的概率解析记“点M落在三棱锥BABC内”为事件E.因为棱长为a的正方体的体积Va3，由正方体的性质可知VBABCSBBCABa3.故P(E).如果试验的结果所构成
7、的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积其概率的计算公式为P(A).3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥MABCD的体积不超过(事件A)的概率解析：设M到平面ABCD的距离为h，则VMABCDS底面ABCDh.又S底面ABCD1，所以只要h即可所有满足h的点组成以正方形ABCD为底面，为高的长方体，其体积为，又正方体的体积为1，所以使四棱锥MABCD的体积不超过(事件A)的概率为P(A).古典概型与几何概型的综合问题典例(本题满分12分)已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，
8、y)(1)当x，yZ时，求点P满足(x2)2(y2)24的概率；(2)当x，yR时，求点P满足(x2)2(y2)24的概率规范解答(1)由|x|2，|y|2，x，yZ，得基本事件总数n25，满足(x2)2(y2)24的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1.6分(2)如图所示，由|x|2，|y|2，x，yR，则构成该事件的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满足(x2)2(y2)24的点构成所求事件的区域如图所示的阴影部分，其面积为22，故所求概率P2.12分规范与警示1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是
9、几何概型是解决本题的难点，也是易错点2在问题(1)中，由于|x|2，|y|2，x，yZ，故其基本事件的个数是有限的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点P满足(x2)2(y2)24，基本事件个数是求解本题的关键3在问题(2)中，由于|x|2，|y|2，x，yR，基本事件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键随堂训练对应学生用书第50页1已知集合Mx|2x6，Nx|02x1，在集合M中任取一个元素x，则xMN的概率是()A.B.C.D.解析：因为Nx|02x1x|1x2，又Mx|2x6，所以MNx|1x2，所以所求的概率为.答案：B2.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是_解析：利用几何概型，其测度为面积设大正方形的边长为1，面积为1，第三个正方形的边长为，所以面积为，所投点落在第三个正方形内的概率为.答案：3一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型(1)P.(2)P.(3)P.