1、第10题 考点二 球的内切、外接问题1、已知三棱锥的四个顶点均在球O的球面上,和所在平面互相垂直，, ,则球O的体积为（ ）ABCD 2、三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积( )A. B. C. D. 3、一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为( )A. B. C. D. 34、如图所示，已知四棱锥的高为3，底面为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为( )AB3CD25、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A B C D6、平面四边形中,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球
2、的体积为( )A.B.C.D.7、设是半径为6.5的球面上的四点,的三边长依次为3,4,5,则四面体的体积的最大值为( )A.26B.25C.18D.138、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A B C D9、已知长方体，内接于半球O，且底面落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球面上.若半球的半径为3，则该长方体体积的最大值为( )A.B.C.48D.7210、某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )A.B.C.D.11、已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，则该球的表面积为（ ）A.B.
3、C.D.12、已知矩形.为的中点.现分别沿将翻折，使点重合，记为点P则几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.13、设是半径为6.5的球面上的四点,的三边长依次为3,4,5,则四面体体积的最大值为( )A.26B.25C.18D.1314、已知三棱锥中,分别为的中点,则直线被三棱锥外接球截得的线段长为（ ）A.B.C.D.15、已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上,平面底面是等腰梯形,且满足且则球O的表面积是（ ）A.B.C.D. 答案以及解析1答案及解析：答案：D解析： AB=3,ACAB，ABC的外接圆的半径为ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离
4、为h,则h=1，R=2，球O体积为故选：D 2答案及解析：答案：D解析：三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三条侧棱长分别为，可将其补充为一个长宽高分别为的长方体，其外接球的直径，三棱锥的外接球的表面积，故选：D. 3答案及解析：答案：A解析：解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,所以,.故选A. 4答案及解析：答案：D解析：由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径R，连接,交于点，连接,外接球的球心O在高上，连接,则,四棱锥的高为3，即,又为直角三角形,即,解得故选：D 5答案及解析：答案：A解析： 将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直
5、径等于正方体的棱长2，则球的半径R=1，则球的体积故选A. 6答案及解析：答案:A解析:由题意平面四边形,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,可知,所以是外接球的直径,所以,球的半径为:,所以球的体积为:,选A. 7答案及解析：答案：B解析：设球心为O,由的三边长 分别为3,4,5得，为直角三角形.设,如图，的截面圆的圆心在的中点，连接,又平面,则,当点D在的延长线与球面的交点处时，四面体的体积最大，此时，故四面体体积的最大值为。 8答案及解析：答案：C解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为,正四棱柱的对角线为而球的
6、直径等于正四棱柱的对角线，即所以,所以. 9答案及解析：答案：A解析：如图，设，长方体的体积为V，由长方体内接于半球得，则，令.则，所以.令，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，最大，即长方体的体积最大，此时，故选A. 10答案及解析：答案：C解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，记作，其中平面,且,底面为正方形，边长为1.将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线为外接球的直径,设外接球的半径为r,则，所求外接球的体积 11答案及解析：答案：C解析：由题意画出几何体，如图所示观察图形可知三棱锥的外接球即为所对应直三棱柱的外接球，把扩展为三棱柱，上、下底面所对应外接圆的圆心分别为，
7、则的中点为外接球的球心O，球心O与A的距离为球的半径，是正三角形，设的外接圆的半径为r，则的外接圆直径为.在直角中，设三棱锥外接球的半径为R，则。由勾股定理得，所以，所求球的表面积为.故选C. 12答案及解析：答案：C解析：由题意可得;，,则，所以三棱锥可补成以，为边的长方体，故其外接球的直径则其外接球的表面积为 13答案及解析：答案：B解析：设球心为O,由的三边长 分别为3,4,5得为直角三角形.不妨设,如图的截面圆的圆心是的中点，,又平面,所以,当点D在的延长线与球面的交点处时四面体的体积最大，此时，故四面体体积的最大值为. 14答案及解析：答案：A解析：如图，三棱锥的外接球即长方体的外接球，球心为O,球的半径取的中点为E,连接则得所以直线被球O截得的线段长为故选A. 15答案及解析：答案：A解析：因为所以由余弦定理得则所以又因为四边形是等腰梯形，所以四边形外接圆的直径为设的中点为球的半径为R,则球O的球心在过点与平面垂直的直线上，如图所示.同时易知点O在过的中点与直线垂直的平面上，则连接此时在中，由勾股定理可得由题易知在中，因为所以所以所以球O的表面积是故选A.
