1、滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合M=x12x1,N=x|y=lg(x+2),则MN等于()A.0,+)B.(-2,0C.(-2,+)D.(-,-2)0,+)答案:B解析:因为集合M=x12x1=x12x120,所以M=x|x0,N=x|y=lg(x+2)=x|x-2,所以MN=x|x0x|x-2=x|-20时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是()答案:A解析:因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数,排除C项、D项.当x=e时,f
2、(e)=1-e+1=2-e0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.8答案:A解析:不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.7.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=33,BD=5,sinABC=235,则CD的长为()A.14B.4C.25D.5答案:B解析:由题意可得,sinABC=235=sin2+CBD=cosCBD,再根据余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BCBDcosC
3、BD=27+25-2335235=16,可得CD=4.8.若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体的体积为433,则其表面积为()A.6+43B.6C.34+23D.34+3答案:A解析:由三视图可知该几何体是半个圆锥,V=1213r23r=433,解得r=2,则母线长为l=2r,所以其表面积为S=12rl+12r2+122r3r=32+3r2=6+43.9.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.8C.17-1D.15-1答案:C解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x
4、2+(y-4)2=1的圆心为E(0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,所以当P,Q,E,F四点共线时,点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=42+1-1=17-1.10.(2020全国,理10)已知ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.32答案:C解析:设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,ABC的外接圆的半径为r,则SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.故r=2332a=3.设
5、O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.故选C.11.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.6答案:C解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2=-11,a5+a9=-2,得a1+d=-11,a1+6d=-1,解得a1=-13,d=2.an=-15+2n.由an=-15+2n0,解得n152.当Sn取最小值时,n=7.12.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=
6、120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案:D解析:A(-a,0),PF1F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PEx轴,F1F2P=120,PF2E=60.|F2E|=c,|PE|=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3c=36(2c+a).e=ca=14.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用x表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-lg x-2=0的实根个数是.答案:3解析:令lgx=t,则得t2-2=t.作y=t2-2与y=t的图象,知t2-2=t有3个解,分别是t=-1,t=2,还有
7、一解在1t2内.当1t2时,t=1,所以t=3.故得x=110,x=100,x=103,即共有3个实根.14.若变量x,y满足约束条件x+y-20,3x-2y-60,yk,且z=x+3y的最小值为4,则k=.答案:1解析:由z=x+3y,得y=-13x+z3,作出不等式对应的可行域,平移直线y=-13x+z3,由平移可知当直线y=-13x+z3,经过点B时,直线y=-13x+z3的截距最小,此时z取得最小值为4,即x+3y-4=0,由x+3y-4=0,x+y-2=0,解得x=1,y=1,即B(1,1),点B同时也在直线y=k上,则k=1,15.正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该正
8、四棱锥的底面边长为4,侧棱长为26,则这个球的表面积为.答案:36解析:正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1所在的直线上,记为O,设球半径为R,则PO=AO=R,PO1=4,OO1=R-4或OO1=4-R.在RtAO1O中,R2=8+(R-4)2,得R=3,所以球的表面积为S=4R2=36.16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为.答案:402解析:设O为底面圆圆心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12|AS|BS|158=515.SA2=80.SA=45.S
9、A与圆锥底面所成的角为45,SOA=90.SO=OA=22SA=210.S圆锥侧=rl=45210=402.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos A+33a=c.(1)求cos B;(2)如图,D为ABC外一点,在平面四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,BC=6,求AB的长.解:(1)在ABC中,由正弦定理,得sinBcosA+33sinA=sinC.又C=-(A+B),所以sinBcosA+33sinA=sin(A+B),即sinBcosA+33sinA=sinAcosB+cosAsinB,所以sin
10、AcosB=33sinA.又A(0,),所以sinA0,所以cosB=33.(2)D=2B,cosD=2cos2B-1=-13.在ACD中,AD=1,CD=3,由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD=1+9-213-13=12,则AC=23.在ABC中,BC=6,AC=23,cosB=33,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即12=AB2+6-2AB633,化简得AB2-22AB-6=0,解得AB=32(负值舍去).故AB的长为32.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B平面ABC,ABAC.(1)求证:ACBB1.(2)若AB=
11、AC=A1B=2,在棱B1C1上确定一点P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为255.答案:(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1B平面ABC,A1B平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.因为平面ABB1A1平面ABC=AB,ABAC,所以AC平面ABB1A1.因为BB1平面ABB1A1,所以ACBB1.(2)解如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),B1C1=BC=(2,-2,0).设B1P=B1C1=(2,-2,0),0,1,则P(2,4-2,2).设平面PAB的一个法向量为
12、n1=(x,y,z),因为AP=(2,4-2,2),AB=(0,2,0),所以n1AP=0,n1AB=0,即2x+(4-2)y+2z=0,2y=0,所以z=-x,y=0.令x=1,得n1=(1,0,-).又平面ABA1的一个法向量是n2=(1,0,0).所以|cos|=|n1n2|n1|n2|=11+2=255,解得=12,即P为棱B1C1的中点.19.(12分)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.答案:(1)解由题意知,圆E的圆心为E(0,1),
13、半径为12.设动圆圆心C(x,y),半径为r.因为圆C与直线y=-12相切,所以d=r,即y+12=r.因为圆C与圆E外切,所以|CE|=12+r,即x2+(y-1)2=12+r.联立,消去r,可得x2=4y.所以动圆圆心C的轨迹是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立x2=4y,y=kx+b,整理,得x2-4kx-4b=0,其中=16(k2+b)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得,y=14x2,y=12x.过点A(x1,y1)的抛物线的切线方
14、程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入切线方程整理得,y=12x1x-14x12.切线过P(m,-4),代入整理得,x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.x1,x2为关于x的方程x2-2mx-16=0的两个根,x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得,x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.b=4,k=m2,直线AB的方程为y=m2x+4.直线AB恒过定点(0,4).20.(12分)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1
15、,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.解:(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=3
16、2-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1,-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.21.(12分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是32,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线
17、交于点M.求证:点M在定直线上;直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2,求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.答案:(1)解由题意,知a2-b2a=32,可得a2=4b2,因为抛物线E的焦点F0,12,所以b=12,a=1.所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)证明设Pm,m22(m0).由x2=2y,可得y=x,所以直线l的斜率为m.因此直线l方程为y-m22=m(x-m),即y=mx-m22.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程x2+4y2=1,y=mx-m22,得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.由0,得0mln2n
18、+12n+1(nN*).答案:(1)解求导函数,可得f(x)=x2-ax+1x2,函数f(x)无极值点,方程x2-ax+1=0在区间(0,+)内无根或有唯一根,方程a=x+1x在区间(0,+)内无根或有唯一根,又x+1x2(当且仅当x=1时取等号),x+1xmin=2,a2.故a的取值范围是(-,2.(2)解当a=2时,f(x)=x-1x-2lnx,g(x)=x+1x-(lnx)2,由(1)知,f(x)在区间(0,+)内是增函数,当x(0,1)时,f(x)=x-1x-2lnxf(1)=0,即x-1x2lnxf(1)=0,即x-1x2lnx0;当x0时,x-1x|2lnx|=|lnx2|,令x2=t0,t-1t|lnt|,两边平方,得t+1t-2(lnt)2,当t0时,t+1t-2(lnt)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明由上知,当x1时,x+1x-(lnx)22,当x1时,x-1xlnx成立,令x=2n+12n,得2n+12n-2n2n+1ln2n+12n,即12n(2n+1)ln2n+12n,不等式:i=1n12i(2i+1)ln21+121+ln2n+12nln21+221+1+ln2n+22n+1=ln2n20+121+12n-1+12n+1=ln2n+12n+1.即i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN*).16