1、第 9 讲 函数模型及其应用 考试要求 1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，A 级要求；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用，B 级要求 知 识 梳 理 几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)axb(a，b 为常数，a0)反比例函数型 f(x)kxb(k，b 为常数且 k0)二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)指数函数型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)对数函数型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)幂函数型 f(x)axnb(
2、a，b 为常数，a0)(2)指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax 诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大()(2)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(3)幂函数增
3、长比直线增长更快()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x)()解析(1)当 x1 时，y2x12，yx21，故(1)错(2)“指数爆炸”是针对 b1，a0 的指数函数，故(2)错(3)y在(1，)上比 yx的增长速度慢，错误 答案(1)(2)(3)(4)2(必修 1P100 练习 3 改编)某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(单位：元)与销售时间 t(单位：天)的函数关系为 P t20，0t25，t100，25t30，tN，且该商品的日销售量 Q(单位：件)与销售时间 t(单位：天)的函数关系为 Qt40(0t30，tN)，
4、则这种商品日销量金额最大的一天是 30 天中的第_天 解析 这种商品日销量金额 yPQ tt，0t25，tt，25t30.当 0t25 时，y(t10)2900，当 t10 时，ymax900，当 25t30 时，y(t70)2900，当 t25 时，ymax1 125.综上，30 天中日销量金额最大的一天是第 25 天 答案 25 3(2017南京、盐城模拟)用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_ 解析 设隔墙的长为 x(0 x6)，矩形面积为 y，则 yx244x22x(6x)2(x3)218，当 x3 时，y 最大 答案 3 4(2015
5、四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时 解析 由题意得 eb192，e22kb48，e22k 4819214，e11k12，x33 时，ye33kb(e11k)3eb123eb1819224.答案 24 5(2014北京卷改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，
6、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得 0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，消去 c 化简得 7ab0.1，9ab0.3，解得 a0.2，b1.5，c2.0.所以 p0.2t21.5t2.015t2152 t22516 4516215t15421316，所以当 t1543.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟 答案 3.75 考点一 二次函数模型 【例 1】A，B 两城相距 10
7、0 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度(1)求 x 的取值范围；(2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数；(3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？解(1)x 的取值范围为 10 x90.(2)y5x252(100 x)2(10 x90)(3)因为 y5x252(100 x)2152 x2500 x25 000152 x1003250 000
8、3，所以当 x1003时，ymin50 0003.故核电站建在距 A 城1003 km 处，能使供电总费用 y 最少 规律方法 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解【训练 1】(2017武汉高三检测)某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元 解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车
9、x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x212)20.12124 32.因为 x0,16且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 答案 43 考点二 指数函数、对数函数模型 【例 2】世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率是_(参考数据 lg 20.301 0，100.007 51.017)解析 设每年人口平均增长率为 x，则(1x)402，两边取以 10 为底的对数，则 40 lg(1x)lg 2，所以 lg(1x)lg 240 0.007 5，所以 100.0
10、07 51x，得 1x1.017，所以x1.7%.答案 1.7%规律方法 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为 yN(1p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解【训练 2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，给出该股民关于这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)：略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损其中说法正确的为_(填序号)解析 设该股民购这支股票的价格为
11、a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(110%)na1.1n元，经历 n 次跌停后的价格为 a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损 答案 考点三 分段函数模型【例 3】某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位：万人)与 x的关系近似地满足 p(x)12x(x1)(392x)(xN*，且 x12)已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)352x xN*，且1x，160 x xN*，且7x(1)写出 2017 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位
12、：万人)与 x 的函数关系式；(2)试问 2017 年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解(1)当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xN*时，f(x)p(x)p(x1)12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x，验证 x1 也满足此式，所以 f(x)3x240 x(xN*，且 1x12)(2)第 x 个月旅游消费总额为 g(x)3x240 x2xxN*，且1x，3x240 x160 x xN*，且7x，即 g(x)6x3185x21 400 xxN*，且1x，480 xxN*，且7x 当 1x6，且 xN*时，g(x)18x2370
13、 x1 400，令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去)当 1x5 时，g(x)0，当 5x6 时，g(x)0，当 x5 时，g(x)maxg(5)3 125(万元)当 7x12，且 xN*时，g(x)480 x6 400 是减函数，当 x7 时，g(x)maxg(7)3 040(万元)综上，2017 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为 3 125 万元 规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应
14、先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值【训练 3】某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过 500 元的部分 5%超过 500 元的部分 10%某人在此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，则 y 关于 x 的解析式为 y 0，0 x800，x，800 x1 300，x25，x1 300.若 y30 元，则他购物实际所付金额为_元 解析 若 x1 300 元，则 y5%(1 300800)
15、25(元)30(元)，因此 x1 300.由 10%(x1 300)2530，得 x1 350(元)答案 1 350 思想方法 解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：易错防范 1解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，
16、导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯 2在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系 3解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1给出下列函数模型：一次函数模型；幂函数模型；指数函数模型；对数函数模型下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是_(填序号).x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型 答案 2某工厂
17、 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是_(填序号)解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有，图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，总产量增加，故正确，错误 答案 3某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图，当打出电话 150分钟时，这两种方式电话费相差_元 解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 sk1t20，B 种方式
18、对应的函数解析式为 sk2t，当 t100 时，100k120100k2，k2k115，t150 时，150k2150k120150152010.答案 10 4在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_m.解析 设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得 x4040y40，解得 y40 x，所以面积 Sx(40 x)x240 x(x20)2400(0 x40)，当 x20 时，Smax400.答案 20 5(2017长春模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt
19、(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析 当 t0 时，ya，当 t8 时，yae8b12a，e8b12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yaebt18a，ebt18(e8b)3e24b，则 t24，所以再经过 16 min.答案 16 6A，B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出A 从甲地自东向西行驶B从乙地自北向南行驶，A 的速度是，B 的速度是，经过_h，AB间的距离最短 解 析 设 经 过 x h，A，B 相 距 为 y km，则 y 40 x2x2 1 856t211 600t1
20、452(0 x298)，求得函数的最小值时 x 的值为258.答案 258 7某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_ 解析 设该企业需要更新设备的年数为 x，设备年平均费用为 y，则 x 年后的设备维护费用为 242xx(x1)，所以 x 年的平均费用为 y1000.5xxxxx100 x 1.5，由基本不等式得 yx100 x 1.52 x100 x 1.521.5，当且仅当 x100 x，
21、即 x10 时取等号 答案 10 8(2016四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司 2015年全年投入研发奖金 130 万元在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是_(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析 设第 x 年的研发奖金为 200 万元，则由题意可得 130(112%)x200，1.12x 2013，x log1.12 2013 log1.1220 log1.1213 lg 20lg 1.12 lg 13lg 1.12 lg 1.120.310.111
22、0.053.8.即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超过 200 万元，即 2019 年超过 200 万元 答案 2019 二、解答题 9(2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 OO1是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V136226224312(m3)(2)设 PO1x，则 O1B1 62x2，B1C1 2 62
23、x2，SA1B1C1D12(62x2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为 4x.则仓库容积 V13x2(62x2)2(62x2)4x 263 x(36x2)由 V0 得 x2 3或 x2 3(舍去)由实际意义知 V 在 x2 3(m)时取到最大值，故当 PO12 3 m 时，仓库容积最大 10(2017南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 yx2548x8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万
24、元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元)则yxx58 000 x482 x58 000 x4832，当且仅当x58 000 x，即 x200 时取等号 年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元(2)设年获得总利润为 R(x)万元 则 R(x)40 xy40 xx2548x8 000 x2588x8 000 15(x220)21 680(0 x210)R(x)在0,210上是增函数，x210 时，R(x)有最大值为15(210220)21 6801 660.年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元 能力提升题组
25、(建议用时：30 分钟)11(2017南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有 a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口，其中 n 与 x 满足 nax5.已知新建一个标段的造价为 m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍(1)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式；(2)设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的 20%，且 k3.问：P 能否大于 120，说明理由 解(1)依题意得 ymknmk(ax5)，xN*.(2)法一 依题意 x0.2a，所以 P
26、mxy xkax0.2aka2aka2 aa213a25a132a25a 130 120，则 ka220a25k0.因为 k3，所以 100(4k2)0，不等式 ka220a25k0)时，销售量 q(x)(单位：百台)与 x 的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x)1 260 x1；若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20 x180 时，q(x)ab x(a，b 为实常数)(1)求函数 q(x)的表达式；(2)当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值 解(1)当 20 x180 时，由 ab 2060，ab 1800，得 a90，b3 5.故 q(x)1
27、260 x1，0 x20，903 5 x，20 x180，0，x180.(2)设总利润 f(x)xq(x)，由(1)得 f(x)126 000 xx1，0 x20，9 000 x300 5x x，20 x180，0，x180，当 0 x20 时，f(x)126 000 xx1126 000126 000 x1，又 f(x)在(0,20上单调递增，所以当 x20 时，f(x)有最大值 120 000.当 20 x180 时，f(x)9 000 x300 5x x，f(x)9 000450 5 x，令 f(x)0，得 x80.当 20 x0，f(x)单调递增，当 80 x180 时，f(x)0，f
28、(x)单调递减，所以当 x80 时，f(x)有最大值 240 000.当 x180 时，f(x)0.综上，当 x80 元时，总利润取得最大值 240 000 元 13(2017苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域 ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5 千米，BC8 千米，CD3 千米现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往 D 地，甲的路线是 AD，速度为 6 千米/时，乙的路线是 ABCD，速度为 v 千米/时 (1)若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟，求乙的速度 v 的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是 5 千米若乙先到 D，且
29、乙从 A 到 D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度 v 的取值范围 解(1)由题意得 AD12 千米，126 16v14，解得649 v647，故乙的速度 v 的取值范围是649，647.(2)设经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t)由于乙先到达 D 地，故16v 8.当 0vt5，即 00，所以当 t5v时，f(t)取最大值，所以v2485 v36 5v225，解得 v154.当 5vt13，即5v8，所以 1v60，所以当 t13v 时，f(t)取最大值，所以(v6)213v 1v62925，解得398 v394.当 13vt16，即13v t16v 时，f(t)(126t)2(16vt)2 因为 126t0,16vt0，所以 f(t)在13v，16v 上单调递减，所以当 t13v 时，f(t)取最大值，12613v216v13v225，解得398 v394.因为 v8，所以 8v394.综上所述，v 的取值范围是8，394.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.