1、1.4 生活中的优化问题举例目标定位重点难点1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法2.会用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题重点：利用导数解决生活中的优化问题难点：将实际问题转化为数学问题的思想方法1生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_，通过前面的学习，我们知道，_是求函数最大(小)值的有力工具，运用_，可以解决一些生活中的_优化问题导数导数优化问题2优化问题中最值的确定解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成_，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由_和_的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上
2、有_的极值，则它就是函数的最值函数关系极值端点唯一3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程数学建模1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时时，原油温度(单位：C)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.203 C1 D8【答案】C2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2B0.032 4
3、C0.024 3D0.048 6【答案】B3某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使新砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A32,16B30,15 C40,20D36,18【答案】A4电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_【答案】40几何中的最值问题【例1】有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？【解题探究】求出无盖容器的体积(容
4、积)表达式，用导数知识求解.解：设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a2x，高为 x，V(x)(a2x)2x,0 xa2，即 V(x)4x34ax2a2x，0 xa2.实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2 上的最大值点在0，a2 内，V(x)12x28axa2.令 V(x)0，得 12x28axa20，解得 x116a，x212a(舍去)当 0 x0；当 x1xa2时，V(x)0.因此 x1 是极大值点，且在0，a2 内，x1 是唯一的极值点，所以 x16a 是 V(x)的最大值点所以当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大（1）利用导数
5、解决实际问题中的最值的一般步骤分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论.（2）几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验 1(2019年江苏宿迁期末)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，要使正方形与圆面积之和最小，则弯成圆的一段铁丝长
6、为_cm【答案】1004 【解析】设弯成圆的一段长为 x(0 x100)，另一段长为 100 x，记正方形与圆的面积之和为 S，则 Sx22100 x42(0 x100)，则 S x218(100 x)令 S0，得 x1004.由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当 x1004 cm 时，面积之和最小故当截得弯成圆的一段长为1004 cm 时，两种图形面积之和最小.【例2】(2018年江苏连云港模拟)现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，
7、轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？用料、费用最少问题【解题探究】根据题目的条件，写出相应关系式，然后运用导数求最值解：(1)依题意得y500 x(9600.6x2)480 000 x300 x.由题意知函数的定义域为(0,35，y480 000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知y480 000 x2300.令y0，解得x40或x40(舍去)函数的定义域为(0,35，函数在定义域内没有极值点当0 x35时，y0，x8.因为当
8、 0 x8 时，y0；当 x8 时，y0，所以当 x8 时，y取最小值，此时宽为 8 m，长为 16 m，即当堆料场的长为 16 m，宽为 8 m 时，可使砌墙所用材料最省.利润最大问题【例 3】某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系式为 P24 20015x2 且生产 x 吨的成本为 R50 000200 x(元)，该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)【解题探究】设出变量，建立目标函数，然后利用导数求最值【解析】根据题意，得每月生产 x 吨时的利润为 f(x)24 20015x2 x (50 000 20
9、0 x)15 x3 24 000 x 50 000(x0)令 f(x)35x224 0000，解得 x1200，x2200(舍去)当 x200 时，f(x)取得最大值，f(200)15200324 00020050 0003 150 000(元)所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元关于利润问题常用的两个等量关系（1）利润收入成本.（2）利润每件产品的利润销售件数3某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是R(x)400 x12x2，0 x400，80 000，x400，则总利润最
10、大时，每年生产的产品是()A100B150C200 D300【答案】D【解析】由题意，总成本为 C20 000100 x，所以总利润为 PRC300 xx22 20 000，0 x400，60 000100 x，x400，P300 x，0 x400，100，x400，令 P0，当 0 x400 时，得 x300；当 x400 时，P0 恒成立，易知当 x300 时，总利润最大 忽略实际问题中的定义域致误【示例】已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，所以720k122，得k5.设全程燃料
11、费为y，由题意yy1 200v81 000v2v8，所以y2 000vv81 000v2v821 000v216 000vv82，令y0，得v16，因此当v16时，全程燃料费最省【错因分析】本题常出错的地方为对题意理解不正确，找不到正确的解题思路，尤其是实际问题中的定义域，往往容易疏忽或遗忘本题中v16不一定满足8vv0.【正解】(接错解)所以当v016时，v16时全程燃料费最省当v016时，y在(8，v0上为减函数，所以当vv0时，ymin1 000v20v08.综上，当v016时，v16千米/时全程燃料费最省，为32 000元；当v016时，则vv0时全程燃料费最省，为1 000v20v0
12、8元【警示】在解决实际问题的最值问题时，一定要注意模型中的自变量取值范围符合实际情况，切勿忘记对端点值与极值大小的比较1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤第一步：建立实际问题的数学模型；第二步：求函数的导数f(x)，令f(x)0，求出极值点；第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值；第四步：将数学模型的答案还原为实际问题的答案2解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最
13、大(小)值(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围1如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，那么体积的最大值为()Al63Bl33Cl43D14l43【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则2(2rh)l，hl4r20rl4，体积Vr2l4r212(lr24r3)，V(lr6r2)令V0，得r0(舍去)或r l6.当rl6时，V有最大值为l63.故选D2(2017年重庆期中)某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2
14、2x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A9千台 B8千台C7千台 D6千台【答案】D【解析】由题意，利润yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x0)y36x6x2，由y36x6x26x(6x)0，得x6或x0.又x0，所以当x(0,6)时，y0，当x(6，)时，y0.函数在(0,6)上为增函数，在(6，)上为减函数则当x6(千台)时，y有最大值故选D3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13x336x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A11万件B9万件C6万件D7万件【答案】C【解析】yx236，令y0，又x0，解得x6.当0 x6时，y0，函数f(x)单调递增；当x6时，y0，函数f(x)单调递减当x6时，y有最大值【答案】2【解析】设底面边长为a，则高hSA22a2212a22，所以体积V13a2h1312a4a62.设y12a4a62，则y48a33a5，由y0，得a4，当a4时，y取得最大值，体积V也最大，此时h12a22 2.4(2017年青海西宁二模)已知正四棱锥SABCD中，SA2 3，那么当该棱锥体积最大时，它的高为_