1、青海师范大学附属实验中学 2022-2023 学年度第一学期教学质量检测高三理科数学一、单选题：本题 12 小题，共 60 分。1复数 z 满足1i32iz（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知定义在 R 上的偶函数()f x，在(,0上为减函数，且(3)0f，则不等式(3)()0 xf x的解集是（）A(,3)(3,)B(,3)(0,3)C(3,0)(0,3)D(,3)(3,3)3已知集合1 0 1A ，集合2 0 2B ，则 AB（）A 0B21 0 1 2，C0D2 2，4“0a，0b”是“0ab”的（）A充分不必要条件B
2、必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5等比数列an中，a1a310，a2a45，则数列an的通项公式为（）A42nnaB42nnaC32nnaD32nna6已知函数 3=sin3 cos,44fxxxxR，则 fx A最大值为 2，且图象关于点,012 对称B周期为，且图象关于点,012 对称C最大值为 2，且图象关于512x对称D周期为2，且图象关于点,012 对称7设na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a 成等比数列，则na的前n 项和nS=A2744nnB2533nnC2324nnD2nn8在 ABC 中，1,2A，2,4B，0,6C，D 为 BC 中点，
3、则 AD 的坐标为A0,3B0,3C3,0D3,09为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据村委会组织法，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每 15 户推选 1 人，当全村户数除以 15所得的余数大于 10 时再增加 1 人.那么，各村可推选的人数 y 与该村户数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(x 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为（）A1115xy B415xy C1015xy D515xy 10数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“
4、几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 2 门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A36 种B54 种C72 种D90 种11椭圆 C：222210 xyabab左右焦点分别为1F，2F，P 为 C 上除左右端点外一点，若121cos2PF F，211cos3PF F，则椭圆 C 的离心率为（）A 436B 52 37C 73 35D 72 6512已知数列na的首项1aa，且04a，14464nnnnnaaaaa ，nS 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是 A不存在a 和n 使得2015nS B不存在a 和n 使得201
5、6nS C不存在a 和n 使得2017nS D不存在a 和n 使得2018nS 二、填空题：本题 5 小题，共 20 分。13已知1(34)(2)izxyyx，2(2)(3)izxyxy，,x y 为实数，若1253izz，则12zz _14在 ABC 中，若 cos2cos2cosACcaBb，则 sinsinCA _15已知函数 tanfxx的导函数为 fx，者(0,)2x，满足 4fxfx的实数 x的最大值为，则cos3 _.16已知曲线 y()f x 存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_.三、解答题：本题 6 小题，共 70 分。17某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为
6、 1，2，3，4，5 的学生进行投篮训练，每人投10 次，投中的次数统计如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率18经过抛物线24yx的焦点的直线 l 交该抛物线于 M，N 两点，求 MN 的取值范围19已知等差数列an满足 a1+a2=10,a5=a3+4.(1)求an的通项公式;(2)记an的前 n 项和为 Sn 若 Sk+12ak+a2,求正整数 k 的值20如图，1111ABCDA
7、 B C D是正四棱柱.(1)求证：BD 平面11ACC A；(2)若二面角1CBDC的大小为60，求异面直线1BC 与 AC 所成角的大小.21已知奇函数 fx 的定义域为,00,，且当0 x 时，2logfxxx.（1）求 fx 的解析式；（2）已知 2xg xx，存在1x，2x 使得120fxg x，试判断1x，2x 的大小关系并证明.22已知圆 C 的圆心位于 x 轴的正半轴上，该圆与直线3470 xy相切，且被 y 轴截得的弦长为 2 3，圆 C 的面积小于 13(1)求圆 C 的标准方程(2)设过点 M（0，3）的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A，B，以 OA，OB 为邻边作
8、平行四边形 OADB是否存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，求出 l 的方程；如果不存在，请说明理由23已知函数 1|2fxxxa，0a（1）若1a 时，求不等式 1fx 的解集；（2）若 fx 的图象与 x 轴围成的三角形面积小于 6，求a 的取值范围参考答案 1D判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.由(1i)32iz，得232i(32i)(1i)33i2i2i51 i1i(1i)(1i)222z，所以复数 z 在复平面内对应的点为 51,22，位于第四象限，故选:D2D根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集由题意，画出()f
9、 x 的图象如图，(3)()0 xf x等价于30()0 xf x，或30()0 xf x，由图可知，不等式的解集为(,3)(3,3)故选：D3A由集合的交集运算可得答案.由集合1 0 1A ，集合2 0 2B ，可得 0AB故选：A4A利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.若0,0ab，则必有0ab.若0ab，则0,0ab或0,0ab.所以0,0ab是0ab 的充分不必要条件.故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的定义和判断.5A设等比数列an的公比为q，由2413aaaa可求出公比，再将1310aa，可求出1a，从而得出答案.设等比数列an的公比为q，由1324131351102q
10、 aaaaqaaaa13111151044aaaaa，解得18a 所以11411822nnnnaa q故选：A6A试题分析：3sin3 cossin3 cos4444fxxxxxsin3 cos44xx132sincos2424xx2sin2sin4312xx，12xRxR，1sin112x，则 fx的最大值为2；1 ，周期2T；当12xkkZ时，fx 图象关于某一点对称，当0k，求出12x，即 fx 图象关于,012 对称，故选 A考点：三角函数sinyAx的性质7A设公差为 d 则解得，故选 A.8A根据向量加法的平行四边形法则可得2ABACAD，再将坐标代入，即可得答案；在 ABC 中，
11、(1,2),(1,4)ABAC，2ABACAD(1,2)(1,4)(0,3)2，故选：A.本题考查向量加法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.9B用 x 除以 15 所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，其中当余数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时结果就是商，但当余数为11,12,13,14时，函数值是商加 1，因此可利用4x 后除以 15 取整得解：根据规定 15 推选一名代表，当各班人数除以 15 的余数大于 10 时再增加一名代表，即余数分别为 11，12，13，14 时可以增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该
12、加 4，因此利用取整函数可表示为415xy.故选：B.本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以 15 的余数大于 10 时再增加一名代表，即余数分别为 11，12，13，14 时可以增选一名代表，函数值要在商基础上加 110B根据学习时间是两个学年或者三个学年进行分类讨论，由此计算出不同的选修方式.三个学年学生选科组合有2,2,0，2,1,1，当2,2,0时，三个学年选两个学年选完有23C，再为每个学年选两门课22242222C CAA，故选修方式为222242322218C CCAA；当2,1,1时，三个学年学完，选课方式有112321432236C CCAA；总共有183654种.故
13、选：B11D根据图形在12PF F中，利用余弦定理解出123212PFPFc，再由椭圆的定义式122PFPFa，整理出12,PF PF 关于,a c 的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于,a c得二次式，从而可求椭圆离心率.解：如图在12PF F中，22222211221212112141cos242PFF FPFPFcPFPF FPFF FcPF，即22212142PFcPFcPF22222221212122112241cos243PFF FPFPFcPFPF FPFF FcPF，即222212443PFcPFcPF且122PFPFa，故+得：2124823ccPFcPF，即12321
14、2PFPFc.所以12112221243212612PFPFaPFcaPFPFcPFac，代入到22222211221212112141cos242PFF FPFPFcPFPF FPFF FcPF中，整理得：2251450caca，故两边除以2a 得：251450ee解得：72 65e或72 65e，又01e，所以72 65e.即椭圆 C 的离心率为 72 65.故选：D.12A当 24a时，12,4aa，262,4aa，32,4aa，可知3,2,33,21,nn nk kNSna nkkN，则当672n 时，2016nS；当673,2na时，2018nS；当02a时，10,2aa，264,6
15、aa，320,2aa，444,6aa，50,2aa，可知3,4,33,41,3,42,31,43,nn nk kNna nkkNSn nkkNna nkkN ，则当673,1na 时，2017nS；所以2015nS 取不到故选 A点睛：本题考查数列的综合应用本题中的数列情况较为复杂，则学生可以通过列举来寻找规律本题中的26aa，则想到分 24a和02a两类进行讨论，再进行列举，就可以发现数列为循环数列，进一步进行求和判断即可132根据复数的加减运算结合1253izz可得 x 和 y 的值，再计算12zz，由模长公式即可求解.因为1(34)(2)izxyyx，2(2)(3)izxyxy，所以 1
16、2(34)(2)i(2)(3)izzxyyxxyxy(34)(2)(2)(3)ixyxyyxxy(55)(34)i53ixyxy，所以555343xyxy，解得1,0 xy，所以132iz，22zi ，所以121izz ，所以122zz故答案为：2.142先用正弦定理边化角，去分母，用两角和与差的正弦公式化简可得.由正弦定理，cos2cos22sinsincossinACcaCABbB，去分母，得sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB即sincossincos2sincos2sincosBAABBCCB，得sin2sinABBC，在 ABC 中，有sin 2sin
17、 CA，即sin2sinCA，所以有 sin2sinCA.故答案为：21522先对函数求导，进而建立不等式，然后通分化简，结合二倍角公式与三角函数的图象和性质求得 x 的最大值为512，即可求解.由()tanf xx可得21()cosfxx，由()4()fxf x可得214 tancosxx，即22114sincos4 tan0coscosxxxxx，故 4sin cos1xx ，故1sin 22x，由0,2x 可得2(0,)x，故5266x，即51212x，故 x 的最大值为512，故52cos3cos42 .故答案为：22.16 3fxx（答案不唯一）直接根据导数的几何意义即可得结果.两条
18、切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，例如 3fxx，23fxx，11f，11f ，此时 13f，13f ，函数在1,1 处的切线方程为：32yx；函数在1,1处的切线方程为：32yx；合乎题意，故答案为：3fxx（答案不唯一）17（1）甲更稳定；（2）25（1）计算平均数，甲乙两个班的平均值相等，再计算方差比较即可；（2）利用古典概型的概率求解.解：（1）两个班数据的平均值都为 7，甲班的方差2222221675777978725s（）（）（）（）（），乙班的方差222222247879777771455s（）（）（）（）（），2212ss，甲班的方差较小，甲班的成绩比较稳定；（2）甲班
19、1到5 号记作a，b，c，d，e，乙班1到5 号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间由5 525 个基本事件组成，将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作 A，则1,1,1,1,2,4,5,1,4,5Aa b c dddde ee，由10个基本事件组成，甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 102255184,).直线斜率不存在时，可得 MN 的长度，直线斜率存在时，设直线方程与抛物线联立，根据焦点弦公式求出弦长的表达式，利用函数的性质即求.由题可知抛物线的焦点坐标为1,0，当直线斜率不存在时，令1x 得：2y ，所以4MN，当直线斜率存在时，设直
20、线方程为1yk x，0k，联立214yk xyx得：2222240k xkxk，设1122,M x yN xy，则212222442kxxkk，1222442244xxABpkk，综上，MN 的取值范围为4,).19(1)an=2n+2;(2)k=1.试题分析：(1)根据等差数列的性质可得a5a3d253，由此可求出14a，则na的通项公式可求;(2)由等差数列的前n 项和公式可得2123,2nkkSnn Saa,即221312 22660,kkkkk整理解不等式，注意k 是正整数试题解析：(1)d=a5a353=2a1+a2=10,即 a1+a1+d=10所以 a1=4,an=4+2(n-1
21、)=2n+2.(2)Sn=4n+n n122=n2+3n,Sk+12ak+a2,即(k+1)2+3(k+1)2(2k+2)+6k2+k-60,(k-2)(k+3)0-3k 0 x时120 xx，证明见解析.(1)令0 x 得0 x ，利用0 x 时 2logfxxx和奇函数的性质即可.(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.(1)令0 x，则0 x ，因为 fx 为奇函数，所以 22loglogfxfxxxxx ，所以 22log0log0 xxxfxxxx .(2)当0 x 时，2logfxxx，易知 fx 在0,上单调递增，因为111()10(1)10222ff ，所
22、以 fx 在0,上存在唯一零点，因为 fx 为奇函数，所以 fx 在(,0)上存在唯一零点，所以 fx 有两个零点，易知 2xg xx在 R 上单调递增，因为11211()20,(1)12022gf ，所以 2xg xx在 R 上存在唯一零点2x，且2102x，因为 22220 xg xx，所以222xx，即222logxx，即222log0 xx，所以2x 也是 fx 的一个零点，所以当10 x 时，12xx；当1 0 x时120 xx.22(1)2214xy(2)不存在，理由见解析（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解.（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根
23、据条件进行求解、判断.（1）设圆 C 的方程为2220,0 xayrar，由题意，知22237343arar，解得12ar 或138198ar，又圆 C 的面积213Sr，1a ，2r，圆 C 的标准方程为2214xy（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，假设存在满足题意的直线 l，设直线 l 的方程为3ykx，11,A x y，22,B xy，由 22314ykxxy，得2216260kxkx，直线 l 与圆 C 相交于不同的两点，2226224 11224200kkkk，解得2 613k 或2 613k 122621kxxk，121
24、222661kyyk xxk，线段 OD 过线段 AB 的中点1212,22xxyy，且线段 AB 与 OD 互相平分，点 D 的坐标为1212,xxyy，即12122632613ODyykkkxxkk，又 MC 的斜率为 30301，331 3kk，解得34k 由于32 62 6,11,433k，故不存在这样的直线 l23（1）2|23xx （2）0,2（1）利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式 1fx 的解集.（2）先用零点分段法去绝对值，将 fx 转化为分段函数的形式，求得 fx 的图象与 x 轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求
25、得a 的取值范围.解：（1）当1a 时，1fx ，化为：|1|2|1|10 xx，当1x 时，式化为：20 x，解得：21x-，当 11x 时，式化为：320 x，解得213x ，当1x 时，式化为：40 x，无解，1fx 的解集是2|23xx ；（2）由题设可得：21,()312,112,1xaxaf xxaaxxax 函数 fx 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1Aa-，,()1Ba a-，12,03aC，21442(1)(1)233ABCaSaa，由题设可得：22(1)63a，解得：02a，故 a 的范围是0,2 本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.
