1、 第 1 页 共 4 页 济南市中职学校 2021 届春考班第一次联考数学试题 1本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分 120 分，考试时间 120 分钟考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到 0.01 卷一（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出并填涂在答题卡上）1已知全集 U1，2，3，集合 A1，3，集合 B2，3，则UAB()A2 B
2、C 2，3 D 1，2，3 2“是第一象限角或是第二象限角”是“sin0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3若 ab，2c2d，则()Aacbd Bacbd Ca2b2 D adbc 4函数 y15|3x|的定义域是()A(，2)(8，)B(，2 8，)C2，8 D(2，8)5下列函数，既是奇函数，又在 R 上单调递增的是()Ay1x Bysinx Cyx3 Dylgx 6已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则 a4()A44 B17 C32 D26 7(x1x)9的二项展开式中 x3的系数是()A36 B36 C84 D 84 8已知一元
3、二次函数 f(x)ax2bxc(a0)满足 f(2x)f(2x)，下列结论正确的是()Af(4)f(1)Bf(5)f(3)Cf(1)f(4)Df(3)f(1)9 已知a(1，2)，|b|5，a b 52，则a，b 等于()A30 B45 C60 D 120 10过点 P(1，0)且与直线 2xy10 平行的直线方程为()A2xy20 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 11已知 tan()12，则 cos4sin3cos4sin的值为()A3 B 21 C3 D12 第 2 页 共 4 页 12在ABC 中，a2 3，b2 2，A60，则B 等于()A 45 B135 C 45或 135
4、 D60 13从 4 名男生 3 名女生中，选出 2 名男生 2 名女生参加座谈会，则不同的选法共()种 A24 B18 C72 D36 14已知角 终边上一点 P(3，4)，则 sin(3)的值为()A33410 B43310 C34 310 D43 310 15已知 x，y 满足线性约束条件2xy4xy1x2y2，则目标函数 z3x2y()A有最小值2，最大值193 B有最小值2，无最大值 C 有最大值193，无最小值 D既无最大值也无最小值 16过点 P(1，3)且与圆 x2y24x0 相切的直线方程为()Ax 3y20 Bx 3y40 Cx3y40 Dx 3y20 17已知抛物线 y2
5、8x 上一点 A 到焦点的距离为 6，则点 A 的横坐标为()A 4 B4 C2 D2 18已知下列命题：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行 上述命题中错误的个数是()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 194 人参加 4100 接力比赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的概率为()A12 B 712 C1112 D23 20已知点 F1，F2是双曲线 x2y231 的左、右两个焦点，点 P 在双曲线的右支上，点 Q 的坐标为(2，3)，则|PQ|PF1|的最小值为(
6、)A33 2 B 7 C8 D9 卷二（非选择题 共 60 分）二、填空题（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21已知正方体的表面积是 24，它的外接球(正方体的所有顶点位于球面上)的体积是_ 22若 lg2a，lg3b，则 log1512 可用 a、b 表示为_ 23已知命题 p：是有理数；q：一元二次函数 y(m1)x2(m21)x3 是偶函数，若 pq是真命题，则 m 的值等于_ 24已知一组数据 x1，x2，x3，xn的平均数是 5，方差是 2，则数据 x13，x23，x33，xn3 的平均数与方差的和为_ 第 3 页 共 4 页 25
7、酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到 20 79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其 100ml 血液中的酒精含量达到 60mg，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 20%的速度减少，那么他至少要经过_小时后才可以驾驶机动车(结果保留整数)三、解答题（本大题 5 个小题，共 40 分）26（本小题 7 分）已知等差数列an中，a37，a2a517(1)求数列an的通项公式；(2)若等比数列bn的各项都为正数，且 b2a2，b4a6，求等比数列bn的前 10 项的和
8、27（本小题 7 分）某电器公司为促进一种新型加湿器的销售，推出了新的团购销售方案，方案如下：每次团购活动中，人数不超过 30 人时，每台加湿器售价 600 元；团购人数超过30 人时，每超过 1 人，每台加湿器的售价降低 10 元(即团购人数 31 人时，每台售价 590元；团购人数 32 人时，每台售价 580 元，以此类推)，每次团购人数不超过 70 人(1)写出每次团购人数 x(人)与加湿器销售单价 y(元)之间的函数关系式；(2)求该电器公司在一次团购活动中，团购人数为多少时，销售收入最大，并求出最大值 28（本小题 9 分）已知向量a (3cosx，sinxcosx)，向量b(2s
9、inx，sinxcosx)(其中 xR)，函数 f(x)a b (1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的取值集合；(2)求函数 f(x)的单调递增区间 第 4 页 共 4 页 29（本小题 8 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且 ABCD 是矩形，E 是PD 的中点 求证：(1)PB平面 EAC；(2)CDAE 30（本小题 9 分）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点与抛物线 x24y 的焦点重合，且其右焦点 F2到直线 xy10 的距离为 2，过椭圆右焦点 F2的直线 l 与椭圆交于M、N 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在
10、直线 l，使得OMON，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 A B C D E P 济南市中职学校 2021 届春考班 第一次联考数学试题答案及评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D D C B D C C A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B D A D B C B B 二、填空题 21 4 3 22 2ab1ab 23-1 2410 25 5 三、解答题(本大题 5 个小题，共 40 分)26（本题 7 分）解：(1)由等差数列的通项公式得：a12d7(a1d)(a14d)17 即 a12d72a15d17
11、1 分 解得 a11，d3 1 分 所以，等差数列的通项公式为 an1(n1)3 3n2 1 分 (2)等比数列bn中，各项均为正数，所以 q0，因为 b2a23224，b4a636216 即 b1q4，b1q316 1 分 解得 b12，q2,1 分 所以 数列bn的前 10 项的和为 S102(1-210)1-220462 分 27（本题 7 分）解：(1)团购人数 x(人)与加湿器销售单价 y(元)之间的函数关系式为：f(x)600，x30且xN，600(x30)10，30 x70且xN 即 f(x)600，x30且xN，90010 x，30 x70且xN3 分(注：没写出 x 的取值范
12、围，或写错取值范围减 1 分)(2)设团购人数为 x 人时，销售收入为 y 元，则 y600 x，x30且xN，10 x2900 x，30 x70且xN 1 分 当 x30 时，ymax6003018000(元)；1 分 当 30 x70 时，y10 x2900 x 10(x45)220250,当 x45 时，ymax20250,1 分 综上所述，当 x45 时，ymax20250，即团购人数为 45 人时，销售收入最大，最大为 20250 元1 分 28（本题 9 分）解：f(x)a b 3cosx2sinx(sinxcosx)(sinxcosx)2 3sinxcosx(sin2xcos2x
13、)1 分 3sin2xcos2x1 分 2sin(2x6)1 分(1)当 2x622k(kZ)，即 x3k(kZ)时，ymax2，2 分 此时 x 的取值集合为x|x3k，kZ1 分(2)令 22k2x622k(kZ)，得1 分 6kx3k(kZ)，1 分 所以，函数的单调递增区间为6k，3k(kZ)1 分 29（本题 8 分）证明：(1)连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，因为 点 O 是矩形 ABCD 对角线的交点，所以 O 是 BD 的中点 在DPB 中 E、O 分别是 DP、DB 的中点，所以 PBEO，2 分 又因为 PB平面 EAC，EO平面 EAC，1 分 所以 PB平面
14、 EAC 1 分(2)因为 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD，1 分 因为 四边形 ABCD 是矩形，所以 CDAD，1 分 又因为 PAADA，PA平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CD平面 PAD，1 分 因为 AE平面 PAD，所以 CDAE 1 分 30（本题 9 分）解：(1)由抛物线方程 x24y 可知，抛物线的焦点为(0，1)，1 分 因为 椭圆焦点在 x 轴上，所以 点(0，1)是椭圆短轴的一个端点，即 b1，1 分 设椭圆的右焦点 F2的坐标为(c，0)，则它到直线 xy10 的距离为 d|c1|2 2，所以 c1，1 分 所以 a2b2c2111，
15、所以 椭圆的标准方程为x22y21 1 分(2)由题意可知，过椭圆右焦点 F2(1，0)的直线与椭圆必相交 当直线斜率不存在时，直线方程为 x1，直线与椭圆的交点为 M(1，22)，N(1，22)，OMON11212，OM与ON不垂直，不符合题意1 分 当直线斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，与椭圆交于 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组yk（x1），x22y21得(12k2)x24k2x2k220，所以 x1x2 4k212k2，x1x22k2212k2 1 分 因为 OMON,所以 OMONx1x2y1y2x1x2k(x11)k(x21)x1x2k2(x1x2(x1x2)1)2k2212k2k2(2k2212k2 4k212k21)k2212k20，2 分 所以 k 2，所以 存在这样的直线，直线 l 的方程为 y 2x 2或 y 2x 21 分