1、专题48 一类貌似神离的不等式求最值【方法点拨】1.已知，求的最值型（其中、均为正数）.此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和不等式”求解.2.已知，求的最值型.此类问题应采取“强分”的方法，即将分解为，然后直接使用基本不等式求解为最简单途径.说明:关键要分清题设的条件的不同，根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口，决不要“张冠李戴”.【典型题示例】例1 已知，求的最小值.【答案】【解析一】对两边同时除以得（等号成立条件略）即的最小值.【解析二】（权方和不等式）对两边同时除
2、以得所以所以（等号成立条件略）即的最小值.说明：1. 已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值.2. 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定.例2 已知，求的最小值.【解析】因为 所以所以，即.说明：此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定 .【巩固训练】1.已知正实数满足，则的最小值为_2. 已知，则的最小值为 .3.如图，已知三角形 ABC 中，AB 1，AC 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠
3、近 B 点)，则的最小值为 4已知a0，b0，且则的最小值是 5.已知x1，y1，则的最小值是 6.已知a0，b0，且，则的最小值是 7.已知x1，y1，xy10，则的最小值是 8. 已知正数满足，则的最小值为 .9.已知，则的最小值为 .10.已知正实数x，y满足x+yxy，则的最小值是 11.已知a0，b0，且，则的最小值是 【答案与提示】1.【答案】【提示】由强分即可.2.【答案】【提示】权方和不等式立得，或换元等.3.【答案】【解析】，.4.【答案】【解析】,当，即时，等号成立5.【答案】8【解析】令当，即，两个等号同时成立6.【答案】【解析】当，即，7.【答案】：9【解析】x1，y1，xy10，且 ，当且仅当时取“”8.【答案】【解析】当且仅当，等号成立.9.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.10.【答案】15【解析】x+yxy可化为，.11.【答案】【解析】当，即，
