1、第四章三角形第一节角、相交线、平行线考 点 帮易错自纠易错点1未给出图形求线段长或角度大小时忽略分类讨论致错1.已知线段AB=8cm.在直线AB上画线段AC=5cm,则BC的长是3cm或13cm.2.已知AOB=35,以O为顶点作射线OC,若AOC=2AOB,则BOC=35或105.易错点2误认为同位角(或内错角)一定相等3.如图,与2一定相等的角是(C)A.1B.3C.4D.5方 法 帮提分特训1.2021湖南长沙如图,ABCD,EF分别与AB,CD交于点G,H,AGE=100,则DHF的度数为(A)A.100B.80C.50D.402.2021山东东营如图,ABCD,EFCD于点F,若BE
2、F=150,则ABE=(D)A.30B.40C.50D.603.2021合肥50中三模如图,ab,ABD的平分线交直线a于点C,CE直线c于点E,1=24,则2的大小为(C)A.114B.142C.147D.1564.2021江苏泰州如图,木棒AB,CD与EF分别在G,H处用可旋转的螺丝铆住,EGB=100,EHD=80,将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置,则至少要旋转20.5.2020四川雅安下列四个选项中不是命题的是(B)A.对顶角相等B.过直线外一点作直线的平行线C.三角形任意两边之和大于第三边D.如果a=b,a=c,那么b=c6.2020合肥168中学一模命题“若ab=0
3、,则a,b中至少有一个为0”的逆命题是若a,b中至少有一个为0,则ab=0.7.2021合肥包河区一模用一组a,b,c的值说明命题“若ab,则acbc”是假命题,这组值可以是1,-1,0(答案不唯一,正确即可)(按a,b,c的顺序填写).真 题 帮考法1平行线的判定与性质1.2021安徽,5两个直角三角板如图摆放,其中BAC=EDF=90,E=45,C=30,AB与DF交于点M.若BCEF,则BMD的大小为(C)A.60B.67.5C.75D.82.52.2017安徽,6直角三角板和直尺如图放置,若1=20,则2的度数为(C)A.60B.50C.40D.303.2013安徽,6如图,ABCD,
4、A+E=75,则C为(C)A.60B.65C.75D.80考法2命题4.2019安徽,12命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为如果a,b互为相反数,那么a+b=0.第二节三角形及其性质(含特殊三角形)考 点 帮易错自纠易错点1已知等腰三角形一个角的度数,求顶角(或底角)的度数时忽略分类讨论1.若等腰三角形的一个内角为50,则该三角形顶角的度数是50或80.易错点2已知等腰三角形两边长求第三边长时忽略三角形的三边关系2.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为(D)A.9B.17或22C.17D.22易错点3已知三角形两边与第三边上的高(未给出图形)求第三边长时
5、忽略分类讨论3.在ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长为4或14.方 法 帮提分特训1.2021广西梧州在ABC中,A=20,B=4C,则C等于(A)A.32B.36C.40D.1282.2021江苏盐城将一副三角板按如图方式重叠,则1的度数为(C)A.45B.60C.75D.1053.2021浙江衢州如图,在ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连接DE,EF,则四边形ADEF的周长为(B)A.6B.9C.12D.154.2020陕西如图,在33的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是ABC的高,则
6、BD的长为(D)A.101313B.91313C.81313D.713135.2021合肥38中三模如图,在RtABC中,C=90,BAC=40,D为边BC上一点,DEAB,垂足为点E,DE=DC,过点E作EFBC交AD于F,则EFA的度数是110. 6.2020福建如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(B)A.10B.5C.4D.37.2021湖南益阳如图,ABCD,ACE为等边三角形,DCE=40,则EAB等于(C)A.40B.30C.20D.158.2021山东滨州如图,在ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,BAD=44,则C的大小为34.9.2
7、021山东淄博如图,在ABC中,ABC的平分线交AC于点D,过点D作DEBC交AB于点E.(1)求证:BE=DE;(2)若A=80,C=40,求BDE的度数.(1)证明:在ABC中,ABC的平分线交AC于点D,ABD=CBD.DEBC,EDB=CBD,EBD=EDB,BE=DE.(2)A=80,C=40ABC=60,BDE=EBD=30.10.2021山西在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”,实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(C)A
8、.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想11.如图,在RtABC中,ACB=90,AD为中线,E为AD的中点,DFCE交BE于点F.若AC=8,BC=12,则DF的长为(D)A.2B.4C.3D.2.512.2021池州贵池区二模如图,在ABC中,AB=AC=6,BAC=120,P是BC上的动点,Q是AC上的动点(Q不与A,C重合).(1)线段PA的最小值为3;(2)当ABP为直角三角形,PCQ也为直角三角形时,CQ的长度为4.5,4或3.真 题 帮考法1与直角三角形有关的计算1.2012安徽,10在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,
9、剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是(C)A.10B.45C.10或45D.10或217考法2等腰三角形的判定与性质2.链接第三章第一节真题帮第3题高分突破微专项3与角平分线相关的模型强化训练1.2021湖南长沙如图,在ABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,DEAB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为2.4.2.如图,BE,CE分别为ABC的内、外角平分线,BF,CF分别为EBC的内、外角平分线,若A=80,则BFC=20.3.如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:
10、以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AN于点C,交AB于点D;分别以点C,D为圆心、大于12CD的长为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE,交PQ于点F.若AB=2,ABP=60,则线段AF的长为23.4.如图,ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分别是其角平分线和中线,过点C作CGAD于点F,交AB于点G,连接EF,则EF的长为12.5.如图,在ABC中,点I是ABC,ACB的平分线的交点,点D是ABC的外角MBC,NCB的平分线的交点,BI,DC的延长线交于点E.(1)若A=50,则BIC=115.(2)若A=x(0x90),则当ACB等于多少度(用含x的代数式表示)时,CEA
11、B?请说明理由.(3)若D=3E,求A的度数.解:(1)115解法提示:点I是ABC,ACB的平分线的交点,BIC=180-(IBC+ICB)=180-12(ABC+ACB)=180-12(180-A)=90+12A=115.(2)当ACB=(180-2x)时,CEAB.理由:CEAB,ACE=A=x,NCD=x,NCB=2x,ACB=(180-2x).(3)由题意知ABC=2CBE,CBM=2CBD.又ABC+CBM=180,DBE=90,D+E=90.当D=3E时,E=22.5,A=2E=45.高分突破微专项4等腰三角形、直角三角形中的分类讨论强化训练1.在RtABC中,ABC=2m4,则
12、m的值是(C)A.3B.4C.2或6D.2或42.2020青海等腰三角形的一个内角为70,则另外两个内角的度数分别是(D)A.55,55B.70,40或70,55C.70,40D.55,55或70,403.2021江苏扬州如图,在44的正方形网格中有两个格点A,B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得ABC是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是(B)A.2B.3C.4D.54.已知一等腰三角形的两边分别为2和5,则该三角形的周长为12.5.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为34,则等腰三角形的顶角是56或124.6.2021江苏常州如图,在RtABC中,ACB=90,CBA=30,
13、AC=1,D是AB上一点(点D与点A不重合).若在RtABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A,D成为直角三角形的三个顶点,则AD长的取值范围是43AD2.7.2021江苏盐城如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E,F分别是边BC,CD上一点,EFAE,将ECF沿EF翻折得ECF,连接AC,当BE=78或43时,AEC是以AE为腰的等腰三角形.8.如图,在RtABC中,A=30,B=90,BC=2,点E为AC的中点,点D为AB上一动点,作ADE关于直线DE的对称图形,点A的对应点为点A,作ADE关于直线AE的对称图形,点D的对应点为点D,连接CD.当ADE是直角三角形时,CD的长为1
14、或433.第三节全等三角形考 点 帮易错自纠易错点1误用“SSA”判定三角形全等1.如图,在ABC和DCB中,ACB=DBC,添加一个条件,不能证明ABC和DCB全等的是(B)A.ABC=DCBB.AB=DCC.AC=DBD.A=D易错点2忽略“1与2全等”和“12”的区别2.如图,在ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm/s,则当BPD与CQP全等时,v的值为2或3.方 法 帮提分特训1.2021江苏盐城工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一
15、个角.如图,在AOB的两边OA,OB上分别截取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.2020湖北鄂州如图,在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD,OAb,但ac=bc=0,故命题“若ab,则acbc”是假命题.1.CC=30,BAC=90,B=60.BCEF,EDC=E=45,MDC=FDE+EDC=135,BMD=MDC-B=135-60=75.故选C.2.C如图,过点E作EFAD.四边形ABCD是矩形,EFADBC,3=1,4=2.EHG是直
16、角三角板,H=30,2=4=60-3=60-20=40.3.C根据平行线的性质与三角形内角和定理的推论可得,C=A+E=75.4.如果a,b互为相反数,那么a+b=0第二节三角形及其性质(含特殊三角形)【易错自纠】1.50或80分两种情况讨论:顶角为50;当底角为50时,顶角为180-250=80.2.D分两种情况讨论:当腰长为4时,4+44,9-94,所以能构成三角形.故此三角形的周长是9+9+4=22.3.4或14分两种情况讨论:当AD在ABC内部时,如图(1),AB=13,AC=15,AD=12,在RtABD和RtACD中,根据勾股定理,得BD=5,CD=9,BC=5+9=14.当AD在
17、ABC外部时,如图(2),根据勾股定理,得CD=9,BD=5,BC=9-5=4.图(1)图(2)提分特训1.AA+B+C=180,A=20,B=4C,20+4C+C=180,C=32.故选A.2.C3.B4.D由题意可知AC=22+32=13,SABC=12BDAC=33-1212-1213-1223=72,BD=71313.5.110DEA=90=C,DE=DC,DAE=DAC=12BAC=20.B=180-BAC-C=50,EFBC,AEF=B=50,EFA=180-BAD-AEF=110.6.BAD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,CD=BD=5.7.CABCD,DCA+CAB=
18、180,即DCE+ECA+EAC+EAB=180.ACE为等边三角形,ECA=EAC=60,EAB=180-40-60-60=20.8.34AB=AD,B=ADB.又BAD=44,ADB=180-442=68.AD=DC,ADB=C+DAC,C=DAC=12ADB=34.9.略10.C11.DAD为中线,BC=12,CD=12BC=1212=6.在RtACD中,AD=AC2+CD2=82+62=10.ACB=90,E为AD的中点,CE=12AD=5.DFCE,D为BC的中点,DF=12CE=2.5.12.(1)3(2)4.5,4或3(1)在ABC中,AB=AC=6,BAC=120,B=C=30
19、.由垂线段最短可知,当PABC时,PA有最小值,最小值为12AB=3.(2)如图(1),当APB=90,PQC=90时,AQ=12AP=1.5,CQ=6-1.5=4.5.当BAP=90时,BP=632=43.易知BC=63,CP=23.当QPC=90时,如图(2),CQ=2332=4;当PQC=90时,如图(3),CQ=3223=3.综上所述,CQ的长度为4.5,4或3. 图(1) 图(2) 图(3)1.C本题分为两种情况.如图(1),DE是RtABC的中位线,AE=4.又DE=3,AD=AE2+DE2=42+32=5,AB=10.如图(2),DE是RtABC的中位线,AE=4.又DE=2,A
20、D=AE2+DE2=42+22=25,AB=45.图(1) 图(2)高分突破微专项3强化训练1.2.4AD平分BAC,DEAB,C=90,DC=DE=1.6,BD=BC-DC=4-1.6=2.4.2.20易知E=12A,F=12E,F=14A=1480=20.3.23如图,过点B作BHAF于点H.由作图过程可知AF平分BAN.ABP=60,MNPQ,BAN=60,NAF=BAH=30,AFB=30,AB=BF.在RtABH中,AB=2,AH=ABcos30=232=3,AF=2AH=23.4.12易证AFCAFG,FG=FC,AG=AC=3.又点E是BC的中点,EF是CGB的中位线,EF=12
21、BG=12(AB-AG)=12.5.略高分突破微专项4强化训练1.C当B=90时,m=2+4=6;当C=90时,m=4-2=2.故选C.2.D分情况讨论:若顶角为70,则两个底角为(180-70)2=55;若两个底角为70,则顶角为180-70-70=40.故选D.3.B分情况讨论:AB为等腰直角三角形ABC的斜边时,符合条件的格点C有0个;AB为等腰直角三角形ABC的直角边时,符合条件的格点C有3个,如图.故选B.4.125.56或124当该等腰三角形为锐角三角形时,如图(1),由题意得ABD=34,A=90-34=56. 当该等腰三角形为钝角三角形时,如图(2),由题意得ACD=34,BA
22、C=D+ACD=90+34=124.图(1)图(2)6.43AD2易得AB=2. 设RtABC的直角边上存在点E,使ADE是直角三角形.易知DAE90,且使得ADE=90的点E只有一个.以AD为直径画圆,如图(1),当该圆与折线ACB的交点有且只有3个时,符合题意;如图(2),当该圆与BC相切时,设圆心为F,半径为r,易得BF=2r,AB=3r,r=23,此时AD=43.综上,AD长的取值范围是43AD2.图(1)图(2)7.78或43设BE=x.分两种情况讨论.当EA=EC时,如图(1),则EA2=EC2,9+x2=(4-x)2,解得x=78,即BE=78.当AE=AC时,如图(2),过点A
23、作AGEC于点G,则EG=GC.AEC+CEF=90,AEB+CEF=90,CEF=CEF,AEC=AEB,易证ABEAGE,EB=EG=GC,x+2x=4,解得x=43.综上所述,BE的长为78或43.图(1)图(2)8.1或433易知AC=4,AE=CE=12AC=2.ADEADE,ADE是直角三角形,ADE也是直角三角形.分两种情况讨论.当ADE=90时,如图(1),此时AED=AED=AED=90-30=60,点D在AC上,点A与点B重合,CD=BCcosC=1.当AED=90时,如图(2),此时点A与点C重合,易得CD=2cos30=433.综上可知,CD的长为1或433.图(1)图
24、(2)第三节全等三角形【易错自纠】1.B2.2或3设点P,Q的运动时间为ts.由题意可知BD=6cm,BP=2tcm,CQ=vtcm.AB=AC,B=C,分两种情况讨论:当BPDCQP时,BP=CQ,即2t=vt,v=2.当BPDCPQ时,BP=CP,BD=CQ,即2t=4,6=vt,v=3.综上,v的值为2或3.提分特训1.D2.BAOB=COD=36,AOB+BOC=COD+BOC,即AOC=BOD.在AOC和BOD中,OA=OB,AOC=BOD,OC=OD,AOCBOD,AC=BD,OCA=ODB,OAC=OBD,故结论正确.设OB与AC交于点F.OAC=OBD,OFM=AMB+OBD=
25、AOB+OAC,AMB=AOB=36,故结论正确.如图,过点O分别作OGAC于G,OHBD于H, 则OGC=OHD=90,在OCG和ODH中,OCG=ODH,OGC=OHD,OC=OD,OCGODH,OG=OH,MO平分AMD,故结论正确.假设OM平分BOC,则BOM=COM,MO平分AMD,AMB=DMC,OMB=OMC,又OM=OM,BOMCOM,OB=OC,又OA=OB,OA=OC,与OAOC矛盾,故结论错误.正确的有.故选B.3.AB=AD(答案不唯一)已知AC=AC,BAC=DAC,若由SAS判定ABCADC,可补充条件AD=AB;若由ASA判定ABCADC,可补充条件ACB=ACD
26、;若由AAS判定ABCADC,可补充条件B=D.45.略15.略高分突破微专项5强化训练1.C在RtABC中,AC=BC=1,由勾股定理得AB=12+12=2,故中的结论正确.当点E与点B重合时,点H也与点B重合,如图,此时四边形GCBM是矩形,点F是AB的中点,GF是ACB的中位线,MH=CG=12AC=12,故中的结论正确.根据半角模型的结论可知AF2+BE2=EF2,故中的结论不正确.当点F不与点A重合,点E不与点B重合时,易知FME,AGF,EHB均为等腰直角三角形.设AG=a,BH=b,则AF=2a,BE=2b,EF2=2a2+2b2,FM2=(22)2(2a2+2b2)=a2+b2
27、,MGMH=S矩形GCHM=SABC-SAGF-SEHB+SFME=12-12a2-12b2+12(a2+b2)=12,故中的结论正确.故选C.2.y=9xPCD是等边三角形,PC=CD=PD,PCD=PDC=60,APC+A=DPB+B=60.APB=120,A+B=60,APC=B,DPB=A,ACPPDB,PCBD=ACPD,CD2=ACBD.即32=xy,故y关于x的函数解析式为y=9x.3.(2,0)或(1.5,0)如图,过点P分别作PMy轴于点M,PNx轴于点N,则PM=PN=3.又PMO=PNO=MON=90,四边形OMPN是正方形.又APB=45,根据半角模型的结论可得AM+B
28、N=AB.设OB=m,则BN=3-m,AM=2.5-(3-m)=m-0.5,OA=3-(m-0.5)=3.5-m.根据OA2+OB2=AB2,得(3.5-m)2+m2=2.52,解得m1=2,m2=1.5,点B的坐标为(2,0)或(1.5,0).45.略高分突破微专项6强化训练1.A如图,过点F作FHAD于点H,由四边形ABCD是矩形,可得四边形ABFH是矩形,故FH=AB.令EF与AG的交点为O,则由折叠的性质,得AGEF,即EOA=90,OAE+AEF=90.又DAG+AGD=90,FEH=AGD.又FHE=ADG=90,EFHGAD,EFAG=FHAD=ABAD=22.2.135如图,过
29、点C作CGAF,交AF的延长线于点G,则EFCG.又点E是AC的中点,AF=FG.CAG+BAF=90=ABF+BAF,CAG=ABF.又AB=CA,AFB=CGA=90,ABFCAG,CG=AF=FG,FCG是等腰直角三角形,CFG=45,AFC=180-CFG=135.34.略第四节相似三角形【易错自纠】1.425或925在ABCD中,ADBC,AEFCBF.如图(1),当AEDE=23时,AEAD=25.AD=BC,AEBC=25,SAEFSCBF=425.如图(2),当AEDE=32时,AEAD=35.AD=BC,AEBC=35,SAEFSCBF=925.图(1)图(2)2.23DEB
30、C,ADEABC,DEBC=ADAB=46=23.3.52或85易知AD=2.ADE和ABC相似,DAE=BAC,应分两种情况讨论.当ADEABC时,ADAB=AEAC,即24=AE5,AE=52.当ADEACB时,ADAC=AEAB,即25=AE4,AE=85.综上可知,AE的长为52或85.提分特训1.ADE=C(答案不唯一)2.32方法一:如图(1),过点E作EPAD交BC于点P.AE=CE,DP=CP.EPAD,BDDP=BFEF=3,BD=3DP,BDDC=3DP2DP=32.方法二:如图(2),过点E作EQBC交AD于点Q.点E是AC的中点,点Q是AD的中点,CD=2QE.易得BD
31、FEQF,BDQE=BFEF=3,BD=3QE,BDDC=3QE2QE=32.图(1) 图(2)3.略1.B如图,过点D作DHCA,交AB于点H.EFAC,ACB=90,CDEF.EGEF,EGAC,EGDH.易证AEFADC,AEGADH,EFDC=AEAD=EGDH.又EF=EG,CD=DH.设CD=DH=x,则BD=12-x.DHCA,BDHBCA,DHCA=BDBC,即x6=12-x12,解得x=4,故CD=4.2.略3.BB=DAC,ACD=BCA,ACDBCA,CDAC=ACBC,即AC2=CDBC=48=32,解得AC=42(负值已舍去).4.略高分突破微专项7强化训练1.B点D
32、,E,F分别是AB,AC,BC的中点,DEBC,EFAB,EFC=B=ADE=45.2.B如图,延长BN交AC于点D.在ANB和AND中,NAB=NAD,AN=AN,ANB=AND=90,ANBAND,AD=AB=8,BN=ND.M是ABC的边BC的中点,DC=2MN=4,AC=AD+CD=12.3.5如图,连接AC,FC.由折叠的性质可知,BE垂直平分线段CF.FMBE,点F,M,C共线,FM=MC.又AN=FN,MN=12AC.四边形ABCD是矩形,ABC=90,AC=AB2+BC2=62+82=10(cm),MN=12AC=5cm.4.214如图,连接EF,DF.BDAC,F为BC的中点
33、,DF=12BC=9.同理,EF=12BC=9,FE=FD.又点G为DE的中点,FGDE,GE=GD=12DE=5.由勾股定理得FG=EF2-EG2=214.5.105如图,取BD的中点E,连接AE.DAB=90,AE=12BD=ED=EB,EAB=B=25,AED=EAB+B=50.AC=12DB,AC=AE,ACE=AED=50,CAE=180-50-50=80,BAC=CAE+EAB=105.6.125连接AM,AB=AC,点M为BC的中点,AMCM,BM=CM=12BC=3.在RtABM中,AB=5,BM=3,AM=AB2-BM2=4.SAMC=12MNAC=12AMMC,MN=AMM
34、CAC=125.7.83如图,延长CD至点H,使DH=CD.DCBC,BCD=90.ACB=120,ACD=30.点D为AB的中点,AD=BD.在ADH与BDC中,DH=CD,ADH=BDC,AD=BD,ADHBDC,AH=BC=4,H=BCD=90.又ACH=30,CH=3AH=43,SABC=SACH=12443=83.89.略高分突破微专项8略高分突破微专项9例1.10过点D作DEAC于点E.BAD=ACB=90,BAC+DAE=90,BAC+ABC=90,DAE=ABC,又AB=AD,AED=ACB=90,ABCDAE,AE=BC,AC=DE.设BC=AE=a,则DE=AC=4a,CE
35、=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(负值已舍去),BC=1,DE=AC=4a=4,S四边形ABCD=SABC+SACD=12BCAC+12ACDE=1214+1244=10.例2.185如图,过点F作AD的垂线,交AD于点M,交BC于点N,则FMA=ENF=90.BC=6,点E为BC边的中点,BE=12BC=3.由折叠的性质可知,EF=BE=3,AF=AB=4,AFE=B=90.根据一线三直角模型,可得AMFFNE,FNAM=ENFM=EFAF=34.设EN=3x,FM=4x,则FN=4-4x,AM=3x+3,4-4x3x+3=34,x=
36、725,NC=EC-EN=3-3x,FC=5-5x=5-5725=185.例3.-9如图,过点A作ACx轴于点C,过点B作BDx轴于点D.OAOB,AOC+BOD=90.在RtAOC中,AOC+CAO=90,CAO=DOB.又ACO=ODB=90,ACOODB,SACOSODB=(OAOB)2=19.SACO=121=12,SOBD=129=92,|k|=9.函数y=kx的图象的一支位于第四象限,k=-9.强化训练1.23ABC是等边三角形,AB=BC=AC=3,B=C=60=APD,由此易得BAPCPD,ABCP=BPCD,即33-1=1CD,CD=23.2.3如图,过点D作DFAC于点F.
37、AEB=135,CEB=45,CEB是等腰直角三角形.又BE=32,BC=CE=3.根据一线三直角模型,可得EFDBCE,FED=FDE=45.又DE=2,EF=DF=1.易证AFDACB,AFAC=DFBC.设AF=a,则aa+4=13,a=2,AE=AF+EF=2+1=3.3.322如图,过点F作FGAB于点G,在GB上截取GH=FG,连接FH,则FGH是等腰直角三角形,FHG=45.CEF=90,B=90,FEG+BEC=90=ECB+BEC,FEG=ECB.又EF=CE,FGE=CBE=90,EFGCEB,EG=CB,BE=FG=HG,BH=EG=BC=5,即BH为定值,点H为定点.延
38、长HF交AD于点I,则AIH是等腰直角三角形,AI=AH=AB-BH=3,IH=32,当 AFIH时,AF取最小值,最小值为322.4.(1,-12)如图,分别过点A,B作ADx轴于点D,BCx轴于点C.ADO=OCB=AOB=90,根据“一线三直角”模型,可得AODOBC,ODAD=BCOC.A(-4,-8),OD=4,AD=8,BCOC=ODAD=12,OC=2BC.设BC=a,则OC=2a,点B的坐标为(2a,-a),代入y=-12x2,得-a=-12(2a)2,解得a1=12,a2=0(不符合题意,舍去),故点B的坐标为(1,-12).高分突破微专项10强化训练1.CABC和ECD是等
39、边三角形,ACB=ECD=60,AB=AC=BC,EC=ED=CD.BCE=180-ECD=120,ACD=180-ACB=120,BCE=ACD.又CE=CD,BC=AC,BCEACD,BE=AD,EBC=DAC.又BM=13BE,AN=13AD,BM=AN.在BCM和ACN中,BC=AC,CBM=CAN,BM=AN,BCMACN,CM=CN,BCM=ACN,MCN=ACM+ACN=ACM+BCM=ACB=60,CMN是等边三角形.故选C.2.PB2+PA2=2PC2连接BQ,易证ACPBCQ,CBQ=CAP=45,AP=BQ,ABQ=90,PB2+BQ2=PQ2,PB2+PA2=2PC2.
40、3.易知ACD=BCE,CECD=CBCA=3,ACDBCE,故中结论正确.设AD,BE交于点F,由可知CDF=CEF,DFE=DCE=90,即ADBE,故中结论正确.由可知CBE=CAD,CBE+DAE=CAD+DAE=CAE,CAE不一定是45,故中结论错误.过点C作CGAB于点G,则CG=ACsin60=3cm.当点D在GC的延长线上时,点D到AB的距离最大,即SABD最大,此时SABD=124(3+1)=(23+2)(cm2),故中结论正确.4.易知ABD=FBE=45,ABF=DBE,故中结论正确.ABF=DBE,ABBD=BFBE=22,ABFDBE,故中结论正确.由中结论,可得F
41、AB=EDB=45.又ABD=45,AFBD,故中结论正确.易证BHEBED,BHBE=BEBD,BE2=BHBD,2BG2=BHBD,故中结论正确.5.略高分突破微专项11强化训练1.102如图,过点D作DGAC于点G,连接CD,易知SACD=12SABC=4,DG=2SACDAC=842=2.GDB=180-45=135=FDE,FDG=EDB.又FGD=B=90,DGFDBE,DGDB=DFDE,22=DF22+12,DF=102.2.略第五节解直角三角形【易错自纠】1.B如图,过点A作ADBC于点D,由题意可知点D位于格点上,且AD=BD,ABC=45,cosABC=cos45=22.
42、2.6由题意可知tanA=BCAC=34,易得BCAB=35,BC=35AB=3510=6(m).3.6+83或83-6过点A作ADBC,垂足为点D.在RtABD中,AB=8,B=30,AD=4,BD=43.在RtACD中,AC=5,AD=4,CD=AC2-AD2=3.当ACB为锐角时,如图(1),SABC=12BCAD=12(3+43)4=6+83.当ACB为钝角时,如图(2),SABC=12BCAD=12(43-3)4=83-6.综上所述,ABC的面积为6+83或83-6.图(1)图(2)1.C在RtABC中,cosA=ACAB=45,则AB=54AC=5,BC=AB2-AC2=3.DBC=A,BCBD=cosDBC=cosA=45,BD=54BC=543=154.210.略
