1、第1课时绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xax|xR且x0R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.考点一绝对值不等式的解法命题点1.单绝对值不等式的求解2.双绝对值不等式的求解3.利用绝对值解集求参数例1(1)不等式1|x1|3的解
2、集为_解析：数轴上的点到1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集答案：(4，2)(0,2)(2)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析：|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案：2(3)(2016高考全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.当a2时，求不等式f(x)6的解集；设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当xR时，f(x)g(
3、x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)方法引航解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.1若将本例(1)改为：|x1|3，其解集为_解析：x13或x13.x2或x4.答案：(，42，)2将本例(2)改为，若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，求a的值解：由|ax2|3，得1ax5.当a0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，
4、与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为x|x，故a3.3(2016高考全国乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x|x或x5所以|f(x)|1的解集为x|x或1x3或x5考点二利用绝对值不等式求最值命题点1.利用绝对值性质求有关绝对值函数的最值2.利用绝对值函数的最值求参数例2(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值解：x
5、，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析：当a1时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当a1时，f(x)，f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；当a1时，f(x)，f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案：6或4方法引航求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.1对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，
6、求|x2y1|的最大值解：|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.2若关于x的不等式|2 016x|2 015x|d有解，求d的取值范围解：|2 016x|2 015x|2 016x2 015x|1，关于x的不等式|2 016x|2 015x|d有解时，d1.高考真题体验1(2015高考课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；
7、当1x1时，不等式化为3x20，解得x1；当x1时，不等式化为x20，解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)2(2014高考课标全国卷)设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围解：(1)由a0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综上可
8、得，a的取值范围是.3(2013高考课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.4(2012高考新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式
9、f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)|x3|x2|由f(x)3知|x3|x2|3.x1或x4时，|x3|x2|3.|x3|x2|3的解集为x|x4或x1(2)f(x)|x4|，即|xa|x2|x4|xa|x4|x2|当x1,2时，|x4|x2|2|xa|2，在1,2上恒成立|xa|22ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0课时规范训练1设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)A，A，a，且a，因此a，又aN*，从而
10、a1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时等号成立故f(x)的最小值为3.2设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)3x2化为|x1|2，x3或x1.所以f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)f(x)0|xa|3x0.(*)不等式(*)化为或由于a0，不等式组的解集为.依题意，得1，故a2.3已知函数f(x)|x3|2，g(x)|x1|4.(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
11、(2)若不等式f(x)g(x)m1对任意xR恒成立，求实数m的最大值解：(1)依题意，f(x)1，即|x3|3.3x33，0x6，因此实数x的取值范围是0,6(2)f(x)g(x)|x3|x1|6|(x3)(x1)|62，f(x)g(x)的最小值为2，要使f(x)g(x)m1的解集为R.应有m12，m3，故实数m的最大值是3.4已知函数f(x)|2x1|xa|，aR.(1)当a3时，解不等式f(x)4；(2)若f(x)|x1a|，求x的取值范围解：(1)当a3时，f(x)|2x1|x3|其图象如图所示，与直线y4相交于点A(0,4)和B(2,4)，不等式f(x)4的解集为x|0x2(2)f(x
12、)|2x1|xa|(2x1)(xa)|x1a|，f(x)|x1a|(2x1)(xa)0，当a时，x的取值范围是.第2课时不等式证明1不等式证明的方法(1)比较法作差比较法：知道abab0，abab0，因此要证明ab只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即“由因导果”的方法(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等
13、式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法(5)数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时
14、命题成立；假设当nk(kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法2几个常用基本不等式(1)柯西不等式柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则 .柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2
15、b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(2)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则 .当且仅当a1a2an时，等号成立考点一综合法与分析法命题点1.综合法证明2.分析法证明例1(1)(2016高考全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集求M；证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1证明：由知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21
16、(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.(2)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：若abcd，则；是|ab|cd|的充要条件证明：法一：综合法因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd，得()2()2.法二：分析法：要证：.只需证：()2()2即证：ab2cd2(因为abcd)只需证：.只需证：abcd(已知)原不等式成立()若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由得.()若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|
17、ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件方法引航1.综合法证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”2分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：1已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明：因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.2设a，b，c0且abbcca1，求证：abc .证明：因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(ab
18、bcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立考点二放缩法与反证法命题点1.放大或缩小法2.反证法例2设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明：由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立方法引航1.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如，.上面不等式
19、中kN*，k1；(2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0ab，m0，则”2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度3对于含有否定词“至多”“至少”等问题可用反证法设n是正整数，求证：1.证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，.当k2时，；当kn时，1.原不等式成立考点三柯西不等式的应用命题点1.利用柯西不等式证明不等式2.利用柯西不等式求最值例3已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值解：(1)证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号(2)因为6x2y3z
20、 ，所以x2y2z2，当且仅当x即x，y，z时，x2y2z2有最小值.方法引航柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解：(1)因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明：法一：由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取等号所以(ax1bx2)(ax
21、2bx1)x1x2.法二：因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时，取等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.高考真题体验1(2013高考课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.
22、所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.2(2014高考课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.3(2014高考福建卷)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|
23、x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，(pqr)2p2q2r22(pqprqr)9又2pq2pr2qr2(p2q2r2)当且仅当pqr时，等号成立因此3(p2q2r2)9从而p2q2r23.4(2016高考江苏卷)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明：因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.课时规范训练1(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：(1
24、)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.2若a，bR，求证：.证明：当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.3已知a0，求
25、证： a2.证明：要证原不等式成立，只需证 2a，a0，两边均大于零只需证2，只需证2a22，即证a22成立，又a22显然成立，原不等式成立4若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m.(1)若x21比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离2ab .解：(1)由题意知|x210|10|，即|x21|1，所以x211或x211，解得x或x，所以x的取值范围是x|x或x(2)要证明a3b3比a2bab2远离2ab，即证|a3b32ab|a2bab22ab|，因为ab，故a2bab222ab，a3b322ab.所以只需证a3b32aba2bab22ab.即证明a3b3(a2bab2)0，化简得(ab)2(ab)0显然成立，所以a3b3比a2bab2远离2ab.