1、方程与不等式一、 一元一次方程及一元二次方程考点一 一元一次方程1.等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式，即若a=b，则（2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，即若a=b，则an=bn,2.方程：含有未知数的等式叫做方程3.一元一次方程：只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程4.解一元一次方程主要有以下步骤：a.去分母，b.去括号，c.移项，d.合并同类项，e.未知数的系数化为1例（2019河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）
2、得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A4cmB8cmC（a+4）cmD（a+8）cm考点二 一元二次方程1.一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数，）2.一元二次方程的解法（1）对于形如，等简单的一元二次方程，可直接用开方的方法求解，（2）配方法：把一元二次方程转化成的形式，然后运用开平方法求解（3）公式法：对于一般形式的一元二次方程(），利用配方法可求得它的根为.（4）因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可根据若ab=0，则a=0或b=0将原方程化为两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解即为原方程的根.3. 一元二次方程根的判别式（1）在求根
3、公式中，式子叫做一元一次方程(）的根的判别式.（2）当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根4.一元二次方程的根与系数的关系如果方程(）的两个实数根为，那么例1（2019上海） 下列方程中，没有实数根的是（ ）A. B. C. D.例2（2019泰安） 一元二次方程的根的情况是（ ）A.无实数根 B.有一正根一负根 C.有两个正根 D.有两个负根例3 某书店把一本新书按标价9折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价是（ ）A.26元 B.27元 C.28元 D.29元例4（2019江苏南京） 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变
4、成本，其中固定成本每年平均4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x（1） 第3年的可变成本为 万元（用含x的代数式表示）（2） 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x二、 二元一次方程（组）考点一 二元一次方程（组）的有关概念1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的方程叫做二元一次方程2.二元一次方程组的定义形如，和，的方程组都是二元一次方程组3.二元一次方程组的解法（1）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未
5、知数的代数式表示出来；将所得等式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到含有另一个未知数的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出未知数的值；将所求得的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。（2）加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数；把所得方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。例1（2
6、019河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）A BC D例2 若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（ ）A. B. C. D.-考点二 运用二元一次方程组解决实际问题常见的典型问题：问题模型常用等量关系鸡兔同笼（1） 鸡的头数+兔的头数=头的总数；（2） 鸡脚的总数+兔脚的总数=脚数和数字问题（1）变化前，两位数（或三位数）各数位上的数字之间的大小关系；（2）变化后，新旧两数之间的大小关系例3（2019内蒙古呼和浩特） 某专卖店有A，B两种商品.已知在打折前，买
7、60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折.例4 为了援助失学儿童，初三学生李明从2019年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）.已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元（1)在李明2019年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2019年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2019年1月份开
8、始，每月存款都比2019年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值三、 分式方程考点一 分式方程及其解法1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程2. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验，得出结论，一般代入原方程的最简公分母3. 增根：增根是分式方程化为的整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零例1（2019广西南宁） 解方程：考点二 分式方程的应用1. 常见题型有行程问题和工程问题2. 用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是否为原分式方程的根，再检验方程的根是否符合题意，缺一不可例2（2019湖北黄冈）
9、 黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12019元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元例3（2019江苏扬州） 动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度四、 一元一次不等式（组）考点一 一元一次不等式1. 不等式的基本性质：（1） 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变（2） 不等式的两边都乘
10、（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3） 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变2. 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式3. 解一元一次不等式的步骤去分母：去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1.在至步的变形中，一定要注意不等式的性质（2），（3）的运用，明确不等号的方向是否需要改变例1 不等式的最大整数解是（ ）A.4 B.5 C.6 D.不存在考点二 一元一次不等式组1.一元一次不等式组的定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集3.解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定其公共部分，即为原不等式组的解集.4.借助数轴，熟练掌握以下四种基本不等式组（ab）解集的确定例2 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？第 7 页
