1、2012全国各地模拟分类汇编理：立体几何（1）【四川省宜宾市高中2011届高三调研理】如图，在三棱锥中，已知，则异面直线与所成的角的大小为（A）. （B） （C） （D）【答案】D【四川省宜宾市高中2011届高三调研理】分别是正方体的棱上的点，且，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 【答案】【四川省南充高中2012届高三第一次月考理】在空间中，若射线、两两所成角都为，且，则直线 与平面所成角的正弦值为 【答案】【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】在正方体中，、分别是、上的点，若，那么=（ ）A大于 B等于 C小于 D不能确定 【答案】B【陕西省长安一中2012届高三开学第一次考试
2、理】设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）332正视图侧视图俯视图A BC D【答案】D【陕西省宝鸡中学2012届高三上学期月考理】某几何体的三视图如图，该几何体的体积的最大值为 。【答案】2【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】已知正三棱柱的棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D.【答案】B【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. B.8- C. D.【答案】A【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题： 若且则；若a
3、、b相交，且都在外，则；若，则；若则.其中正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理】已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】已知在中，, .是上的点，则点到的距离的积的最大值是( )A 2 B3 C D【答案】B【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】如图，在直三棱柱中
4、，底面ABC是等腰直角三角形，且侧棱，点是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 . 【答案】【2012湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）ABCD【答案】B【吉林省长春外国语学校2012届高三第一次月考】已知直线、和平面、b满足，b，则（ ）A B/或CD或【答案】D【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于(A)(B)(C) (D)【答案】C【吉林省长春外国语学校2012届高三第一次月考】长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个
5、长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为（ ）A B C D 【答案】C【吉林省长春外国语学校2012届高三第一次月考】如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 【答案】3【江苏省南京师大附中2012届高三12月检试题】已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 【答案】 96【江苏省南京师大附中2012届高三12月检试题】给定下列四个命题： 若一个平面
6、内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；平行于同一直线的两个平面相互平行；垂直于同一直线的两个平面相互平行上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）【答案】5【江苏省南通市2012届高三第一次调研测试】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为 【答案】【上海市南汇中学2012届高三第一次考试(月考)】已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为 。【答案】【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】已知是平面的一条斜线，点A，为过点A的一条动直线，那么下
7、列情形中可能出现的是（ ） A., B., C., D. ,【答案】C【上海市南汇中学2012届高三第一次考试(月考)】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，动点E、F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AB、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积（ ）A与x，y都无关B与x有关，与y无关C与x、y都有关D与x无关，与y有关【答案】A【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（ ） A.90 B.60 C.45 D.30【答案】C【四川省成都外国语学校2012届高三1
8、2月月考】已知球O是棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面AC D1截球O的截面面积为 。 【答案】【吉林省长春外国语学校2012届高三第一次月考】如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点， （）求证： （）求证：平面【答案】（1）、CE,CE=CE,CE=CDODEC（2）、CEAB,CECE面OD面【四川省宜宾市高中2011届高三调研理】如图,在直三棱柱的底面中，且.（）证明：平面；（）求直线与平面所成的角的大小；（）若是棱的中点,在线段上是否存在一点,使得平面?证明你的结论. 【答案】证明：（）在中，得，zyx由题意，建系，在直三棱柱中，因为为正方形，有，由，得，而
9、，故平面. （4分）（）解：由（）平面的法向量为，又，因为，所以直线与平面所成的角为. （8分）（）解：设在线段上存在一点,使得平面，由（）平面的法向量为，而，由，得，由坐标的几何意义，为线段的中点，所以当为线段的中点时，能使平面. （12分）【陕西省长安一中2012届高三开学第一次考试理】（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD=2,PD底面ABCD（1）证明：PABD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值【答案】（1）因为=2， 由余弦定理得=从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面P
10、AD故 PABD-6分（2）如图，以D为坐标原点，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 即 因此可取=设平面PBC的法向量为，则 ，可取=（0，-1，）， 则 故二面角A-PB-C的余弦值为 -12分【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】已知矩形中，点在上且（如图（3）把沿向上折起到的位置，使二面角的大小为（如图（4）（）求四棱锥的体积；（）求与平面所成角的正切值；（）设为的中点，是否存在棱上的点，使平面？若存在，试求出点位置；若不存在，请说明理由图（4）图（3）【答案】解：（1）取AE的中点P，连接DP，由DA=DE, 故为等边三角形
11、，在平面ABCD内的射影H为PD的中点，又4分（2）在三角形CDH中，由由余弦定理可得8分（3）取CE的中点F，则MF/D/E,在平面ABCE内过F作FN/AE交AB于N，MFNF=F,D/EAE=E则平面MFN/平面D/AE又MN在平面MFN内，故MN/平面D/AE此时AN=EF=CE=,故存在N使MN/平面D/AE12分【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】 如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，BAC30，BMAC交 AC 于点 M，EA平面ABC，FC/EA，AC4，EA3，FC1（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值
12、EAFCMBO（第19题图）【答案】解：（1）如图，以为坐标原点，垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系由已知条件得，xyzABCFMO由，得， 6分（2）由（1）知设平面的法向量为，由 得，令得，由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 14分【安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理】（本题满分12分）已知轴对称平面五边形ADCEF（如图1），BC为对称轴，ADCD，AD = AB =1，CD =BC = ，将此图形沿BC折叠成直二面角，连接AF、DE得到几何体（如图2）(1)证明：AF/平面DEC； （2）求二面角EADB的
13、正切值。【答案】解：（）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、 y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得， ，AFDE，又6分 （）由（）得四点共面，设平面，则，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为，二面角E-AD-B的正切值为.12分【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】（本小题满分12分）如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点. （）求证：AF/平面PCE； （）若PA=AD且AD=2，CD=3，求PCEA的正切值.【答案】（本小题满分13分）证：（1）取PC中点M，连ME，MFFM/CD，FM=，AE/
14、CD，AE=AE/FN，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形AE/EM，AF平面PCEAF/平面PCE6分（2）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AHCN于H连PH。PA平面ABCD PHCN（三垂线定理）PHA为二面角PECA的平面角8分 AD=2，CD=3 CN=5，即EN=A=AD PA=2 AH= 二面角PECA的正切值为12分【四川省成都外国语学校2012届高三12月月考】（12分）已知等腰RtRBC中，RBC=，RB=BC=2，点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD的位置，使PAAB，连结PB、PC。（1）求证：BCPB；（2）求二面角ACDP的
15、平面角的余弦值。 【答案】解：（1）A、D分别为RB、RC的中点， ADBC，RBC=ADRA，ADPA。AD平面PABBC平面PAB，PB 平面PABBCPB。 （2）PAAB，PA平面ABCD 过A作AERC于点E，连结PE，PERC。 PEA为二面角PCDA的平面角，PA=1，BC=2，AE=，PE=cosPEA=二面角ACDP的平面角的余弦值为。【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-中，D，E分别为BC，的中点，的中点，四边形是边长为6的正方形.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明：连结，与交
16、于O点，连结OD. 因为O，D分别为和BC的中点， 所以OD/。 又OD， ， 所以.4分（2）证明：在直三棱柱中， ， 所以. 因为为BC中点， 所以又， 所以. 又 因为四边形为正方形，D，E分别为BC，的中点， 所以. 所以. 所以 8分（3）解：如图，以的中点G为原点，建立空间直角坐标系， 则A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，. 由（）知为平面的一个法向量。 设为平面的一个法向量， 由 令，则. 所以. 从而. 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.12分【江苏省南京师大附中2012届高三12月检试题】(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，
17、且AB，BC1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF平面PAD；（2）若平面PAC平面ABCD，求证：平面PAC平面PDE.ABCDEFP【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，ABCDEFPM所以EACD，且EACDABCDEFPN所以FMEA，且FMEA所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM 5分又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 2分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PNABCDEFQP因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEAN
18、E，CBENAE 又AEEB，所以CEBNEA所以CENE 又F为PC的中点，所以EFNP 5分又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD 2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQPD又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD 又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD 3分因为EF平面EQF，所以EF平面PAD 2分（2）设AC，DE相交于G在矩形ABC
19、D中，因为ABBC，E为AB的中点.所以 又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA 又ADECDEADC90，所以DCACDE90由DGC的内角和为180，得DGC90即DEAC 2分因为平面PAC平面ABCD因为DE平面ABCD，所以DE平面PAC， 3分 又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE 2分【江苏省南通市2012届高三第一次调研测试】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D（1）求证：AD平面BC C1 B1；（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？请给出证明【答案】解: （1）在正三棱柱中，C C1平面ABC，AD平
20、面ABC， ADC C12分又ADC1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内， AD面BC C1 B1 5分（2）由（1），得ADBC在正三角形ABC中，D是BC的中点7分当，即E为B1C1的中点时，A1E平面ADC18分事实上，正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1BDE，B1B= DE 10分又B1BAA1，且B1B=AA1，DEAA1，且DE=AA1 12分所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1AD而E A1面AD C1内，故A1E平面AD C1 14分【江苏省南通市2012届高三第一次调研测试】如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，ADC=90，且（1）求sinBAD的值；（2）设ABD的面积为SABD，BCD的面积为SBCD，求的值B1A1ABCC1DACDB【答案】解 （1）在RtADC中，AD=8，CD=6，则AC=10，2分又，AB=13， 4分， 5分8分（2）， 11分则，14分