1、第3讲基本不等式及其应用考试要求1.基本不等式的证明过程，A级要求；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C级要求知 识 梳 理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是
2、2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为2.()(5)x0且y0是2的充要条件()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数yx值域是(，22，)，没有最小值(4)函数f(x)sin x的最小值为5.(5)x0且y0是2的充分条件答案(1)(2)(3)(4)(5)2设x0，y0，且xy1
3、8，则xy的最大值为_解析xy281，当且仅当xy9时等号成立答案813(必修5P106习题16改编)设a0，b0.若ab1，则的最小值是_解析由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.答案44(2017宿迁期末)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a_.解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3.答案35一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大解析设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x
4、2y，即x15，y时取等号答案15考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)求函数y的最大值解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的
5、条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式【训练1】 (1)(2017湖北重点中学一联)若对x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_(2)函数y(x1)的最小值为_解析(1)因为函数f(x)x1在1，)上单调递增，所以函数g(x)x12在0，)上单调递增，所以函数g(x)在1，)的最小值为g(1)，因此对x1不等式x1a恒成立，所以ag(x)最小值，故实数a的取值范围是.(2)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立答案(1)(2)22考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x，y满足x3
6、y5xy，则3x4y的最小值为_(2)(2017南京模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_(1)解析法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)
7、(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致【训练2】 (1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_(2)(2017盐城模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，
8、则x2y的最小值为_解析(1)(常数代换法)因为x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，当且仅当，即x2y时等号成立，所以当x，y时，有最小值18.(2)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.答案(1)18(2)8考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 (2017苏、锡、常、镇四市调研)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所
9、用时间为t(h)，y214，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(或yx，x50,100)(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，
10、单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时解析(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时取“”最大车流量F为1 900辆/时(2)当l5时，F，F2 000，当且仅当v，即v10时取“”最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/时答案(1)1 900(2)100思想方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析
11、不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab2，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性易错防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1下列不等式：lglg x(x0)；sin x2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；1(xR)其中一定成立的是_(填序号)解析当x0时，x22xx
12、，所以lglg x(x0)，不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，不正确；由基本不等式可知，正确；当x0时，有1，故不正确答案2若2x2y1，则xy的取值范围是_解析22x2y1，所以2xy，即2xy22，所以xy2.答案(，23(2017镇江期末)若a，b都是正数，则的最小值为_解析a，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号答案94(2015湖南卷改编)若实数a，b满足，则ab的最小值为_解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2.答案25(2017苏、锡、常、镇四
13、市调研)若实数x，y满足xy0，则的最大值为_解析11142，当且仅当，即x22y2时取等号答案426若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是_解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案27(2017苏州调研)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_解析mn0，mn1，m0，n1)米，离地面高a(1a2)米的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB.(1)若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？(2)若tan ，当a变化时，求x的取值范围解(1)当a1.5时，过点C作AB
14、的垂线，垂足为点D，则BD0.5，且ACDBCD，由已知知观察者离墙x米，且x1，则tanBCD，tanACD，所以tan tan(ACDBCD)，当且仅当x1时，等号成立又因为tan 在上单调递增，所以当观察者离墙米时，视角最大(2)由题意得tanBCD，tanACD，又tan ，所以tan tan(ACDBCD)，所以a26a8x24x，当1a2时，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4，又因为x1，所以3x4，所以x的取值范围为3,4能力提升题组(建议用时：20分钟)11设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_解析由已知得zx23xy4y
15、2，(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.答案112(2017衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数zax2by(a0，b0)的最大值为1，则的最小值为_解析不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线zax2by过点(1,1)时，z有最大值，故a2b1，故12，故ab，故8，当且仅当a2b时等号成立，故的最小值为8.答案813(2017盐城中学月考)a是12b与12b的等比中项，则的最大值为_解析依题意，a214b2，故a24b214ab，故ab，当且仅当或时，等号成立答案14(2017南
16、京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得EAF45.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2105S105(1S)105(S1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值设EAB(045)，在ABE中，因为AB1，B90，所以BEtan ，则SABEABBEtan .又DAF45，所以SADFtan(45)所以Stan tan(45).令xtan (0,1)，则S(22)1.当且仅当x1，即x1时取等号此时T105，所以三个区域的总投入T的最小值约为105元.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.