1、1.5.3 定积分的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解定积分的概念，会用定义求定积分；2.理解定积分的几何意义；3.掌握定积分的基本性质.加强直观想象训练逻辑思维提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 定积分的概念预习教材P4546，思考并完成以下问题分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点提示：两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限知识梳理 一般地，如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 将区间a，b等分成 n
2、个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式ni1f(i)x当 n时，上述和式无限接近某个，这个叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作ab f(x)dx，即ab f(x)dx，这里，a 与 b 分别叫做与，区间a，b叫做，函数 f(x)叫做，x 叫做，f(x)dx 叫做ni1ban f(i)常数常数积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式limnni1ban f(i)知识点二 定积分的几何意义预习教材P46，思考并完成以下问题1根据定积分的定义求得12(x1)dx 的值是多少？提示：12(x1)dx52.2.12(x1)dx 的值与直线 x1，x2，y
3、0，f(x)x1 围成的梯形面积有何关系？提示：相等知识梳理 从几何上看，如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有，那么定积分ab f(x)dx 表示由所围成的曲边梯形的面积这就是定积分ab f(x)dx 的几何意义注意：f(x)0(图象在 x 轴的下方)时，ab f(x)dx0，ab f(x)dx 等于曲边梯形的面积f(x)0 直线xa，xb，y0和曲线yf(x)知识点三 定积分的性质预习教材P46，思考并完成以下问题你能根据定积分的几何意义解释ab f(x)dxac f(x)dxcb f(x)dx(其中 acb)吗？提示：直线 xc 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形
4、的面积S 是两个小曲边梯形的面积 S1，S2之和，即 SS1S2.知识梳理(1)ab kf(x)dx(k 为常数)(2)ab f1(x)f2(x)dx.(3)ab f(x)dx，(其中 acb)kab f(x)dxab f1(x)dxab f2(x)dxac f(x)dxcb f(x)dx自我检测1定积分01 xdx 的值是()A1 B12C.13D0解析：即计算由直线 yx，x1 及 x 轴所围成的三角形的面积答案：B2.图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.01 2xdxB.01(2x1)dxC.01(2x1)dxD.01(12x)dx解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积01 2x
5、dx01 1dx01(2x1)dx.答案：B3不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：图 1图 2图 3(1)01 xdx_ 01 x2dx(图 1)；(2)01 xdx_ 12 xdx(图 2)；(3)024x2dx_ 02 2dx(图 3)答案：(1)(2)(3)探究一 利用定义求定积分例 1 利用定积分的定义计算12(x22x)dx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么解析 令 f(x)x22x.(1)分割在 区 间 1,2 上 等 间 隔 地 插 入 n 1 个 分 点，把 区 间 1,2 等 分 为 n 个 小 区 间1i1n，1in(i1,2，n)，每个小区间的长度为 xini
6、1n 1n.(2)近似代替、求和取 i1in(i1,2，n)，则Snni1f1in xni1 1in221in 1n 1n3(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2 2n2(n1)(n2)(n3)2n 1n32n2n14n16nn12n16 2n2nn12n21321n 41n 1611n 21n 31n，(3)取极限12(x22x)dxlimnSnlimn 1321n 41n 1611n 21n 31n 23.12(x22x)dx23的几何意义为由直线 x1，x2，y0 与曲线 f(x)x22x 所围成的曲边梯形的面积方法技巧 利用定义求定积分的步骤 分割 n等分区间a，b近似代替 取点ix
7、i1，xi 求和 ni1ban fi取极限 ab fxdxlimnni1ban fi跟踪探究 1.用定积分的定义计算12(x1)dx.解析：f(x)x1 在区间1,2上连续，将区间1,2等分成 n 个小区间，每个区间的长度为 x1n，在xi1，xi1i1n，1in 上取 ixi11i1n(i1,2，n)，f(i)f(xi1)11i1n 2i1n，ni1f(i)xni1 2i1n1nni1 2ni1n22nn 1n2012(n1)2n12n 212 12n52 12n.12(1x)dxlimn 52 12n 52.探究二 利用定积分的性质求定积分例 2 已知01 x3dx14，12 x3dx15
8、4，12 x2dx73，24 x2dx563，求下列各式的值(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx；(3)12(3x22x3)dx.解析(1)02(3x3)dx3 02 x3dx301 x3dx12 x3dx314154 12.(2)14(6x2)dx6 14 x2dx612 x2dx24 x2dx673563 126.(3)12(3x22x3)dx12(3x2)dx12(2x3)dx3 12 x2dx2 12 x3dx3732154 12.方法技巧 学习时，除要掌握定积分的几条性质外，还需掌握下面的结论：由性质(1)和性质(2)可以得到ab f(x)g(x)dxab f(x)dx
9、ab g(x)dx，即线性组合的定积分等于定积分的线性组合若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f(x)在a，a上连续，则(1)若函数 f(x)为奇函数，则.(2)若函数 f(x)为偶函数，则.跟踪探究 2.已知ab f(x)dx8,ab g(x)dx4，求下列定积分：(1)ab f(x)g(x)dx；(2)ab 3f(x)dx；(3)ab 3f(x)4g(x)dx.解析：(1)ab f(x)g(x)dxab f(x)dxab g(x)dx8412.(2)ab 3f(x)dx3 ab f(x)dx3824.(3)ab 3f(x)4g(x)dxab 3f(x)dxab 4g(x)dx3 ab f
10、(x)dx4 ab g(x)dx24168.探究三 利用几何意义求定积分例 3 说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其几何意义求出定积分的值：(1)01 2dx；(2)12 xdx.解析(1)01 2dx 表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以01 2dx2.(2)12 xdx 表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx32.方法技巧 利用几何意义求定积分的关键是正确作出被积函数的图象，确定定积分表示的平面图形的面积，必要时需对平面图形进行合理分割，转化为易求面积的图形注意积分上、下限对平面图形的意义跟踪探究 3.求定积分：
11、02(4x22x)dx.解析：024x22dx 表示圆心在(2,0)，半径等于 2 的圆的面积的14，即024x22dx1422.02 xdx 表示底和高都为 2 的直角三角形的面积即02 xdx12222.原式024x22dx02 xdx2.课后小结(1)定积分ab f(x)dx 是一个和式ni1ban f(i)的极限，是一个常数(2)可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分(3)定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算素养培优积分定义理解不透致误易错案例：已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分
12、别为 v甲和 v乙(如图所示)那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是()A在 t1 时刻，甲车在乙车前面Bt1 时刻后，甲车在乙车后面C在 t0 时刻，两车的位置相同Dt0 时刻后，乙车在甲车前面易错分析：本题中速度的积分是路程，比较两辆车的位置的关键是比较该时刻路程的大小，而不仅仅是速度考查识图、用图、逻辑推理、基本运算等学科核心素养自我纠正：由图可知，曲线 v 甲，直线 tt0 和 t 轴所围成图形的面积大于曲线 v 乙，直线 tt0 和 t 轴所围成图形的面积，则在 t0 时刻，甲车在乙车前面，故 C 错误；同理，在 t1 时刻，甲车在乙车前面，故 A 正确，D 错误答案：A04 课时 跟踪训练