1、第1讲数列的概念考试要求1.数列的概念及数列与函数的关系，A级要求；2.数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)，A级要求知 识 梳 理1数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an
2、1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式4已知数列an的前n项和Sn，则an诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示
3、同一个数列()(2)一个数列中的数是不可以重复的()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()解析(1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列(2)数列中的数是可以重复的(3)不是所有的数列都有通项公式答案(1)(2)(3)(4)2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为_解析当n8时，a8S8S7827215.答案153(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_.解析由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a7.答案4已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增
4、数列，则实数的取值范围是_解析因为an是递增数列，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)5(必修5P34习题7改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.答案5n4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项
5、的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积故所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征
6、；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练1】 (1)数列0，的一个通项公式为_(填序号)an(nN*)；an(nN*)；an(nN*)；an(nN*)(2)数列，的一个通项公式an_.解析(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照各项排除即可(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.答案(1)(2)(1)n考点二由Sn与an的关系求an(易错警示)【例2】 (1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.(2)若数列an的前n项
7、和Snan，则an的通项公式an_.解析(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案(1)(2)(2)n1规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示易错警示在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a
8、1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形【训练2】 (1)(2017淮安月考)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.解析(1)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式an答案(1)2n1(2)考点三由数列的递推关系求
9、通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项公式an_.(2)若a11，anan1(n2)，则通项公式an_.(3)若a11，an12an3，则通项公式an_.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)法一因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，以上(n1)个式子的等号两端分别相乘得ana1.法二因为ana11.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn
10、是以4为首项，2为公比的等比数列bn42n12n1，an2n13.答案(1)1(2)(3)2n13规律方法(1)形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项(2)形如an1anf(n)的递推关系式可化为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项(3)形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键【训练3】 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an_.解析(1)由an
11、22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足)(2)原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得，ana11，故an4.答案(1)32n12(2)4考点四数列的性质【例4】 (1)已知an，那么数列an是_数列(从“递减”“递增”“常”“摆动”中选填一个)(2)数列an的通项an，则数列an中的最大项是_(3)数列an满足
12、an1，a82，则a1_.解析(1)an1，将an看作关于n的函数，nN*，易知an是递增数列(2)令f(x)x(x0)，运用基本不等式得，f(x)2当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或10时，an最大(3)由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a7.答案(1)递增(2)(3)规律方法(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列用作商比较法，根据(an0或ana1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.即a的取值范围是(10，8).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.