1、函数的概念专题检测1.(2018安徽合肥一模,3)已知函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,则f(f(1)=()A.-12B.2C.4D.11答案C函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,f(1)=12+2=3,f(f(1)=f(3)=3+13-2=4.故选C.2.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)=a1-x+bcos2x+x,且满足f(1-2)=3,则f(1+2)=()A.2B.-3C.-4D.-1答案D当x1+x2=2时,f(x1)+f(x2)=a1-x1+bcos2x1+x1+a1-x2+bcos2x2+x2=a1-x1+bcos2x1+
2、x1+ax1-1+bcos2(2-x1)+x2=x1+x2=2.所以函数f(x)的图象关于(1,1)对称,从而f(1+2)=2-f(1-2)=2-3=-1,故选D.3.(2017河北石家庄二中三模,5)已知函数f(x)=-log2(3-x),x2,2x-2-1,x2,若f(2-a)=1,则f(a)=()A.-2B.-1C.1D.2答案A当2-a2,即a0时,f(2-a)=22-a-2-1=1,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2;当2-a0时,f(2-a)=-log23-(2-a)=1,解得a=-12,舍去,f(a)=-2.故选A.4.(2018天津南开三模,8)
3、已知f(x)=|log3x|,03,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是()A.(18,28)B.(18,25)C.(20,25)D.(21,24)答案D作出函数f(x)的图象,如图所示,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),不妨设abcd,则有-log3a=log3b,3c6,且c+d=10,ab=1,d=10-c,abcd=c(10-c)=-c2+10c(3c4),由二次函数图象及性质得-32+103-c2+10c-42+410,21abcd0,1-lg(1-x)0-9x0)的定义域与y=x不同
4、,故不是相等函数;D中函数y=x2=|x|的解析式与y=x不同,故不是相等函数.故选B.思路分析分析函数的定义域和解析式,进而根据相等函数的定义得到答案.方法总结两个函数是同一函数需要两个条件:两个函数的定义域是同一个集合;两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足.7.(2016浙江镇海中学测试(五),1)下列函数中,与函数 f(x)=x的定义域、值域均相同的是()A.y=2x-12xB.y=x2C.y=x+1xD.y=tanx答案A由题意知,函数f(x)=x的定义域和值域都为R.y=x2的值域为0,+),y=x+1x的值域是(-,-22,+),y=tanx的定义域为xR
5、xk+2,kZ.故选A.8.(2018豫南九校第六次质量考评,6)已知函数f(x)=(a-2)x+3a+1,x3,2ax-2,x3(a0且a1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是()A.0,56B.1,54C.0,561,54D.(0,1)54,+答案C根据题意,可得f(x)的最小值为f(3)=6a-5,则a-20,f(x)的图象如图所示:1a2,6a-52a或0a1,6a-50,解得1a54或00,则满足f(x)+f(x-1)1的x的取值范围是.答案(0,+)解析当x0时,x-1-1,f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+11,即x0,此时无解.当020=1,此时f(
6、x)+f(x-1)1恒成立.当x1时,x-10,f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=32x-1,2x-120=1,此时f(x)+f(x-1)1恒成立.综上所述,满足f(x)+f(x-1)1的x的取值范围是(0,+).解题关键解答本题的关键是利用分类讨论的思想进行求解,分x0,01三种情况讨论,并结合函数的单调性解答.10.(2018江苏淮安、宿迁期中,12)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称,且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点.则满足题意的函数f(x)的一个解析式为.答案f(x)
7、=x,x(-1,0)1,x(0,1)(答案不唯一)解析由题图可知,线段OC与线段OB是关于原点对称的,线段CD与线段BA也是关于原点对称的,因为f(x)与g(x)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象可以在OC或CD中选取一个,再在AB或OB中选取一个,组合形式为OC和AB,CD和OB,OC的方程为y=x(-1x0),OB的方程为y=x(0x1),所以f(x)=x,x(-1,0),1,x(0,1),g(x)=-1,x(-1,0),x,x(0,1)或f(x)=-1,x(-1,0),x,x(0,1),g(x)=x,x(-1,0),1,x(0,1).11.(2017北京东城一模,14)已知函数f(x
8、)=1,0x12,-1,12x1,0,x0或x1和g(x)=1,0x1,0,x0或x1,则g(2x)=;若m,nZ,且mg(nx)-g(x)=f(x),则m+n=.答案1,0x12,0,x0或x12;4解析由题意可得g(2x)=1,0x12,0,x0或x12.mg(nx)-g(x)=f(x),mg(nx)=f(x)+g(x)=2,0x12,0,x2.当=5时,不等式f(x)-1的解集是;若函数f(x)的值域是R,则实数的取值范围是.答案(-4,-1)(8,+);(-,-2222,+)解析若x2,则f(x)-1,即x2+5x+42,则f(x)-1,即2-log2x2时,f(x)=2-log2x2
9、-log22=1,要使函数f(x)的值域为R,则需当x2时,f(x)的最小值不大于1.当对称轴x=-2-4时,必须12-241,解得(-4,-2222,+),当对称轴x=-22,即-4时,必须4+2+31,解得(-,-4,取并集可得的取值范围是(-,-2222,+).14.(2018南通如皋教学质量调研(一)改编,19)已知二次函数f(x)为偶函数且图象经过原点,其导函数f(x)的图象过点(1,2).求函数f(x)的解析式.解析由二次函数f(x)的图象经过原点,可设f(x)=ax2+bx(a0),又因为f(x)为偶函数,所以对任意实数xR,都有f(-x)=f(x),即a(-x)2+b(-x)=
10、ax2+bx,所以2bx=0对任意实数xR都成立,故b=0.所以f(x)=ax2,f(x)=2ax,又因为导函数f(x)的图象过点(1,2),所以2a1=2,解得a=1.所以f(x)=x2.15.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,cR),对任意的xR恒有f(x)g(x)成立.(1)求证:g(x)0恒成立;(2)设b=0时,记h(x)=g(x)f(x)(x2,+),求函数h(x)的值域;(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.解析(1)证明:f(x)g(x)恒成立,即x2+(
11、b-2)x+c-b0,=(b-2)2-4(c-b)0,b2-4c+40,b2-4c-40恒成立.(2)b=0,h(x)=12x+cx,由(1)知c1.当1c4时,h(x)在2,+)上为增函数,h(x)的值域为1+c4,+;当c4时,h(x)在2,c上为减函数,在c,+)上为增函数,h(x)的值域为c,+).综上,1c4时,h(x)的值域为1+c4,+,c4时,h(x)的值域为c,+).(3)由(1)推得b2-4c+40,4c-4bb2-4b+4=(b-2)20,c-b0,同理,c+b0,又g(c)-g(b)M(c2-b2),即(c+2b)(c-b)M(c2-b2),当c2=b2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b2,MR;当c-b0且c+b0时,Mc+2bc+b=1+bc+b恒成立,只需求当cb0时,bc+b的最大值即可,而bc+b=1cb+1,cb1,bc+b12,M32,即M的最小值为32.