1、平面向量的概念、线性运算及基本定理专题检测1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A.513,-1213B.-513,1213C.1213,-513D.-1213,513答案A向量a=(2,-9),b=(-3,3),a-b=(5,-12),设与a-b同向的单位向量为e=(x,y),则a-b=e(0),|e|=1,x=5,y=-12,x2+y2=1,解得=13,x=513,y=-1213,故选A.2.(2017河北石家庄二中月考,7)M是ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则|MD|BM|的值为()A.12B.13C.1D.2答案B连
2、接MD.因为23MB+MA+MC=0,D为AC的中点,所以-23MB=MA+MC=2MD,所以MD=-13MB,故M在中线BD上,且为靠近D的一个四等分点,故|MD|BM|=13.3.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若SABC=6,则PAB的面积为()A.2B.3C.4D.8答案APA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),3PA=PB-PC=CB,PACB,且方向相同.SABCSPAB=BCAP=|CB|PA|=3,SPAB=SABC3=2.故选A.4.(2019广西名校高三联考,9)在ABC中,点F为AB边上靠近点A的三等分点
3、,点E为AC边上靠近点A的三等分点,BE与CF相交于点O,则AO=()A.14AB+13ACB.13AB+14ACC.13AB+13ACD.14AB+14AC答案D连接EF,由AB=3AF,AC=3AE可得EFBC,且BC=3EF,由EOFBOC,得OEOB=EFBC,则BO=3OE,故有BO=3OE,则AO-AB=3(AE-AO),即AO=14AB+34AE=14AB+14AC.5.(2018四川成都三诊,6)已知O为ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t的值为()A.14B.13C.12D.23答案B以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接O
4、F,与BC相交于点E,则E为BC的中点.AO=12(OB+OC),OB+OC=2AO=2OE,点O是线段AE的中点.AD=tAC,B,O,D三点共线,点D是BO与AC的交点.过点O作OMBC交AC于点M,则点M为AC的中点,OM=12EC=14BC,DMDC=14,DM=13MC,AD=23AM=13AC,t=13.6.(2018安徽淮南一模,8)已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且AM=xAB,AN=yAC(x,y0),则3x+y的最小值是()A.83B.43+233C.52D.72答案B设BC的中点为D,则AG=23AD=13AB+13AC=13xAM+13y
5、AN,M,G,N三点共线,13x+13y=1.又x0,y0,3x+y=(3x+y)13x+13y=43+y3x+xy43+213=43+233.当且仅当y3x=xy,即x=13+39时取等号,3x+y的最小值是43+233.故选B.7.(2018海南海口模拟,10)点O为ABC内一点,且存在正数1,2,3使1OA+2OB+3OC=0,设AOB,AOC的面积分别为S1,S2,则S1S2=()A.12B.23C.32D.21答案C取1=16,2=13,3=12.1OA+2OB+3OC=0,16OA+13OB+12OC=0,OA+2OB+3OC=0,设2OB=OB1,3OC=OC1,如图,则O是三角
6、形AB1C1的重心,故三角形AOB1和三角形AOC1的面积相等,又SAOB=12SAOB1,SAOC=13SAOC1,AOB与AOC的面积之比是1213=32,即32.故选C.思路分析利用特值法和数形结合的方法求解.疑难突破抓住三角形重心O的几何意义,并灵活利用数形结合是突破难点的关键.8.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=AM+AN,则实数+=.答案43解析如图,AM=AB+BM=AB+12BC=DC+12BC,AN=AD+DN=BC+12DC,由得BC=43AN-23AM,DC=43AM-23AN,AC=AB+BC=DC+BC=
7、43AM-23AN+43AN-23AM=23AM+23AN,又AC=AM+AN,=23,=23,+=43.9.(2018中原名校9月联考,15)如图,在ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则|AP|PM|=.答案4解析设AB=a,AC=b,BP=BN,A、P、M共线,存在唯一实数,使得AP=AM.又M为BC的中点,AM=12(AB+AC)=12(a+b).AP=12(a+b).又AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=AB+23AC-AB=(1-)a+23b.根据平面向量基本定理得1-=12,23=12,解得=45,=35.AP=45AM
8、,PM=15AM.|AP|PM|=41,即|AP|PM|=4.思路分析选AB,AC为一组基底,设AB=a,AC=b,BP=BN,由A,P,M共线得AP=12(a+b),同理得AP=(1-)a+23b,利用平面向量基本定理构造,的方程组,求得与的值,从而得出|AP|PM|的值.10.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,ABC=90,DCA=2BAC,若BD=xBA+yBC(x,yR),则x-y的值为.答案-1解析如图,延长DC,AB,交于点E,因为DCA=2BAC,所以BAC=CEA.又ABC=90,所以BA=-BE.因为BD=xBA+yBC,所以BD=-xBE+yBC.
9、因为C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.思路分析根据ABC=90,DCA=2BAC,可延长DC,AB,交于点E,把BA转化为-BE,再利用C、D、E三点共线求解.解题关键作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解.规律总结已知OC=xOA+yOB,若A,B,C三点共线,则x+y=1;反之亦成立.11.(2016甘肃天水校级期中)已知O是ABC的外心,且AB=5,AC=8,存在非零实数x,y,使AO=xAB+yAC,且x+2y=1,则cosBAC=.答案45解析如图所示,取AC的中点D,则AC=2AD,AO=xAB+2yAD,x+2y=1,O,D,B三点共线,连接BO
10、.O是ABC的外心,ODAC,BDAC,且D为AC的中点,在RtABD中,AB=5,AD=4,cosBAC=cosBAD=45.解后反思考查三角形外心的定义,三点共线的充要条件,向量数乘的几何意义,以及三角函数的定义.可作出图形,并取AC的中点D,由AO=xAB+2yAD,x+2y=1,得出O,D,B三点共线是解题关键.12.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD,|AB|=2|AD|=2,且ABAD=1,AE=EB,DF=2FC,则AFDE=; 若DE和AF交于点M,且AM=xAB+yAD,则x+y=.答案16;57解析AFDE=(AD+DF)(AE-AD)=
11、AD+23AB12AB-AD=13|AB|2-|AD|2-16ADAB=16.AF=23AB+AD,设AF=1AM,则AM=23AB+AD,mAE+(1-m)AD=AM=23AB+ADm2-23=0,1-m=37,故AM=27AB+37ADx+y=57.13.(2017河北百校联盟4月联考,14)已知在ABC中,点D满足2BD+CD=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,AM=AB,AN=AC.若0,0,则+的最小值为.答案3+223解析连接AD.因为2BD+CD=0,所以BD=13BC,AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC.因为D、M、
12、N三点共线,所以存在xR,使AD=xAM+(1-x)AN,则AD=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=23AB+13AC,根据平面向量基本定理,得x=23,(1-x)=13,所以x=23,1-x=13,所以23+13=1,所以+=13(+)2+1=133+2+3+223,当且仅当=2时等号成立,+的最小值为3+223.思路分析利用2BD+CD=0及向量的线性运算可得AD=23AB+13AC,然后利用D、M、N三点共线再次得到AD的表达式,从而利用平面向量基本定理得出与的关系,最后利用基本不等式求出+的最小值.方法归纳如果a,b不共线,那么“1a+1b=2a+2b”的充要条件为“
13、1=2且1=2”,我们常用这个结论得出不含向量的方程组.14.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=13MA+23MB.(1)求证:A,B,C三点共线,并求|BA|BC|的值;(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,x(0,),且函数f(x)=OAOM+2m-23|AB|的最小值为12,求实数m的值.解析(1)MC=13MA+23MB,MC-MB=13(MA-MB),BC=13BA.又BC,BA有公共点B,A,B,C三点共线.BC=13BA,|BA|BC|=3.(2)A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,O(0,0),OA=(1,sinx),OM=1+23sinx,sinx,OAOM=1+23sinx+sin2x,又AB=(sinx,0),x(0,),|AB|=sinx,f(x)=OAOM+2m-23|AB|=sin2x+2msinx+1.设t=sinx.x(0,),t(0,1,y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.当-m0,即m0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;当0-m1,即-1m1,即m-1,不合题意.综上可知,m=-22.