1、1.4 生活中的优化问题举例内 容 标 准学 科 素 养1.通过实例体会导数在解决实际问题中的应用；2.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.培养数学建模实践化归转化提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点 生活中的优化问题知识梳理(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为(2)利用导数解决优化问题的实质是(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的过程优化问题求函数最值数学建模思考：解决生活中优化问题应当注意哪些问题？提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考
2、虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f(x)0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不将该点处的函数值与区间端点处的函数值比较，也可以知道函数在该点处取得最大(小)值(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来，还应确定出函数关系中自变量的定义区间自我检测1已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数解析式为 y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13 万件B11 万件C9 万件D7 万件解析：yx281，所以当 x9 时，y0；当 x(0
3、,9)时，y0，所以函数 y13x381x234 在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，所以 x9 是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在 x9 处取得最大值答案：C2已知圆柱的表面积为定值 S，当圆柱的体积 V 最大时，圆柱的高 h 的值为_解析：设圆柱的底面半径为 r，底面面积为 S1，侧面面积为 S2，则 S12r2，S22rh，所以 S2r22rh，所以 hS2r22r，又圆柱的体积 Vr2hr2(S2r2)rS2r32，VS6r22，令 V0 得 S6r2，所以 h2r，因为只有一个极值点，故当 h2r时圆柱的体积最大又 rS6，所以 h2r2S
4、6 6S3.即当圆柱的体积 V 最大时，圆柱的高 h 为 6S3.答案：6S3 探究一 面积、容积的最值问题例 1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析
5、设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm.由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x30.(1)S4ah8x(30 x)8(x15)21 800，所以当 x15 时，S 取得最大值(2)Va2h2 2(x330 x2)，V6 2x(20 x)由 V0，得 x0(舍去)或 x20.当 x(0,20)时，V0；当 x(20,30)时，V0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值此时ha12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.方法技巧(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值(2)一般地，通
6、过函数的极值来求得函数的最值如果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f(x)0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较跟踪探究 1.三棱锥 O-ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且 xy3，则三棱锥 O-ABC 体积的最大值为()A4 B8 C.43D.83解析：V132x22 yx2y3 x23x33x2x33(0 x3)，V6x3x232xx2x(2x)令 V0，得 x2 或 x0(舍去)所以 x2 时，V 最大为43.答案：C2在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当
7、底边上的高为_时它的面积最大解析：如图，设OBC，则 02，ODrsin，BDrcos.所以 SABCrcos(rrsin)r2cos r2sin cos.令 Sr2sin r2(cos2sin2)0，所以 cos 2sin，所以 12sin2sin，解得 sin 12，又 02，所以 6.即当 6时，ABC 的面积最大，即高为 OAOD3r2 时面积最大答案：3r2探究二 费用(用料)最省问题例 2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔
8、热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解析(1)由题设，每年能源消耗费用为 C(x)k3x5，再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x)403x5.又建造费用为 C1(x)6x，故隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)(2)f(x)6 2 4003x52，令 f(x)0，即 2
9、 4003x526，解得 x5 或 x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0；当 5x10 时，f(x)0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 80015570.故当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小，为 70 万元方法技巧(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f(x)0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪探究 3.某地建一
10、座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解析：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 nmx1.所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2 x)x256mxm x2m256.(2)由(1)知，f(x)256mx2 12mx12 m2x
11、2(x32512)令 f(x)0，得 x32512，所以 x64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x640 时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 nmx164064 19.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小探究三 利润最大问题例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品
12、的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值 42单调递减由表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数
13、 f(x)取得最大值，且最大值等于 42，即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大方法技巧 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪探究 4.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，再准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系为：p1 000 x5(2x8)为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为 5 万元，工厂一次性补贴职工
14、交通费12(x225)万元设 f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和(1)求 f(x)的表达式(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 f(x)最小，并求最小值解析：(1)f(x)1 000 x55x12(x225)整理得 f(x)12(x5)21 000 x5(2x8)(2)f(x)(x5)1 000 x52x531 000 x52由 f(x)0 得 x5；所以 f(x)在2,5上单调递减，在5,8上单调递增；故当 x5 时，f(x)取得最小值 150.综上所述，宿舍应建在离工厂 5 km 处，可使总费用 f(x)最小，最小值为 150 万元.课后小结(1)利用导数解决生活中优化问题
15、的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(2)正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用题的主要思路，另外需要特别注意：合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；与实际问题相联系；必要时注意分类讨论思想的应用素养培优解决实际优化问题时忽略定义域致误易错案例：甲、乙两地相距 s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分
16、组成可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 b(b0)，固定部分为 a 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析：解决实际应用题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件，否则会造成漏解或解题过程不规范主要考查数学建模，基本运算等学科核心素养自我纠正：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为yasvbv2svsavbv，故所求函数及其定义域为 ysavbv，v(0，c(2)由题意知 s，a，b，v 均为正数由 ysb av2 0，得 vab，v(0，c若abc，则 vab是极值点，即当 vab时，全程运输成本 y 最小若abc，因为 v(0，c，此时 y0，则函数在(0，c上为减函数，所以当 vc 时，y 最小综上所述，为使全程运输成本 y 最小，当abc 时，行驶速度 vab；当abc时，行驶速度 vc.04 课时 跟踪训练