1、第4讲随机事件的概率考试要求1.随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，概率的意义，频率与概率的区别，A级要求；2.两个互斥事件的概率加法公式，B级要求知 识 梳 理1随机事件及其概率(1)在一定的条件下必然要发生的事件，叫作必然事件(2)在一定的条件下不可能发生的事件，叫作不可能事件(3)在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作随机事件(4)在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记作P(A)(5)随机事件的概率P(A)的取值范围是0,12互斥事件与对立事件(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(2)对立事
2、件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件(3)互斥事件的概率如果事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(AB)P(A)P(B)，推广：如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(4)对立事件的概率事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P(A)P()P(A)1.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值()(3)若随机事件A发生的概率为
3、P(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()答案(1)(2)(3)(4)2(必修3P97习题1改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为_(填序号)解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件答案3(2016天津卷改编)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为_解析设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事
4、件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率PP(AB)P(A)P(B).答案4(2017常州期末)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_解析由题意知，所求概率P.答案5(2017苏北四市期中)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)，12；35.5，39.5)，7；39.5,43.5，3.根据样本的频率分布估计，数据落在27.5,43.5内的概率约是_解析
5、由条件可知，落在27.5,43.5的数据有11127333(个)，故所求概率约为.答案考点一随机事件间的关系【例1】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是_(填序号)解析从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件答案规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶
6、，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生【训练1】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A“取出的2球同色”，B“取出的2球中至少有1个黄球”，C“取出的2球至少有1个白球”，D“取出的2球不同色”，E“取出的2球中至多有1个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P
7、(B)P(C)解析当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则不正确显然A与D是对立事件，正确；CE不一定为必然事件，所以P(CE)1，不正确由于P(B)，P(C)，所以不正确答案考点二随机事件的频率与概率【例2】 (2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1
8、)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05
9、调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值【训练2】 (2015北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、
10、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时
11、购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并
12、估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率得P(A
13、1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.规律方法(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法【训练3】 某商场
14、有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件
15、N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.思想方法1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生3求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)易错防范1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而
16、概率是一个常数2正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.(建议用时：35分钟)1在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件(填序号)答案2把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“
17、乙分得红牌”是_事件(从“对立”，“不可能”，“互斥但不对立”中选填一个)解析由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件答案互斥但不对立3给出下列三个命题：有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率其中错误命题是_(填序号)解析错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案4口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率
18、为0.28，若红球有21个，则黑球有_个解析摸出黑球的概率为10.420.280.30，口袋内球的个数为210.4250，所以黑球的个数为500.3015.答案155(2017南通调研)将一枚骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是_解析由题可知两次向上的点数都不是1的概率是，则至少有一次向上的点数为1的概率是1.答案6(2017盐城模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)0.65
19、，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P1P(A)10.650.35.答案0.357设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为_(从“互斥事件”或“对立事件”中选填一个)解析因为P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件答案互斥事件8(2017苏北四市调研)掷一枚骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为_解析掷一枚骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1，表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从
20、而P(A)P(A)P().答案9已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_解析20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P.答案10某城市2017年的空气质
21、量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良，100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为_解析由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P.答案11从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(AB)_(结果用最简分数表示)解析P(A)，P(B)，且A与B是互斥事件P(AB)P(A)P(B).答案12如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙
22、的平均成绩的概率是_解析设被污损的数字为x，则甲(8889909192)90，乙(8383879990x)，若甲乙，则x8.若甲乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P.答案13抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(AB)_.解析将事件AB分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”则C，D互斥，且P(C)，P(D)，P(AB)P(CD)P(C)P(D).答案14某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_解析“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”故他属于不超过2个小组的概率是P1.答案特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.