1、15 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积15.2 汽车行驶的路程内 容 标 准学 科 素 养1.了解“以直代曲”“不变代变”的思想方法；2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.认识近似代替规范步骤表达提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 曲边梯形的面积预习教材P3842，思考并完成以下问题1如何计算下列两图形的面积？提示：直接用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解2如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？提示：已知图形是由直线 x1，y0 和曲线 yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而
2、“直边图形”的所有边都是直线段知识梳理(1)曲边梯形的概念如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 yf(x)的一段，我们把由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(2)求曲边梯形的面积的步骤把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，对这些面积的近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值随着拆分越来越细，这个近似值逐步“逼近”面积的精确值“以直代曲”“逼近思想”求曲边梯形面积的具体步骤如下：分割在区间a，b上等间隔地插入 n1 个点，分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小
3、曲边梯形近似代替当 n 很大时，曲边梯形被分割的每一部分近似直边图形(矩形或梯形等)，这样我们就可以用直边图形代替曲边梯形求和把每个直边图形的面积求出后进行求和取极限当 n 趋向于无穷大，即时，直边图形的面积之和趋向于曲边梯形的面积计算曲边梯形面积的流程图如图x 趋向于 0知识点二 求变速直线运动的(位移)路程知识梳理 与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出物体在 atb 内运动的路程 s(注意：这里的“路程”
4、也说“位移”)自我检测1函数 f(x)x2 在区间i1n，in 上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当 n 很大时，f(x)的值变化很小解析：当 n 很大，即 x 很小时，在区间i1n，in 上，可以认为 f(x)x2 的值变化很小，近似地等于一个常数答案：D2下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是()Af(x)|x|Bf(x)sin xCf(x)lg x1 Df(x)x2，x0 x1，x0解析：作出各个函数的图象，可知应选 D.答案：D3在计算由曲线 yx2 以及直线 x1，x1，y0 所围成的图形面积时，若将区间1,1n 等分，则每个小区间的长度为_解
5、析：每个小区间长度为11n2n.答案：2n 探究一 求曲边梯形的面积例 1 求由直线 x0，x2，y0 与曲线 yx21 所围成的曲边梯形的面积参考公式 1222n216n(n1)(2n1)解析 令 f(x)x21.(1)分割将区间0,2n 等分，分点依次为x00，x12n，x24n，xn12n1n，xn2.第 i 个区间为2i2n，2in(i1,2，n)，每个区间长度为 x2in2i2n2n.(2)近似代替、求和取 i2in(i1,2，n)，Snni1f2in xni1 2in21 2n 8n3ni1i22 8n3(1222n2)2 8n3nn12n1624323n 1n2 2.(3)取极限
6、SlimnSnlimn 4323n 1n2 2 143，即所求曲边梯形的面积为143.方法技巧 求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式，如123nnn12，122232n2nn12n16，132333n3nn122.跟踪探究 1.求由直线 x0，x1，y0 和曲线 yx2所围成的图形的面积解析：(1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：0，1n，1n，2n，2n，3n，i1n，in，n1n，1，其中 i1,2，n，每个小区间的长度为 xini1n 1n.过各分点作 x 轴的垂
7、线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1，S2，Sn.(2)近似代替在区间i1n，in(i1,2，n)上，以i1n 处的函数值i1n2 为高，小区间的长度 x1n为底边的小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即Sii1n21n.(3)求和ni1Sini1 i1n21n01n1n21n2n21nn1n21n 1n31222(n1)213 12n 16n2.(4)取极限曲边梯形的面积Slimn 13 12n 16n2 13.探究二 求变速运动的路程例 2 当汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为
8、 v(t)t22(单位：km/h)，那么它在 1t2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解析 将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为1i1n，1in.所以 siv1i1n1n.snni1v1i1n1n1nni1 1i1n22 1nni1 i12n22i1n31n3n 1n2021222n121n02462n13n12n16n2n1n.slimnsnlimn 3n12n16n2n1n133.所以这段时间行驶的路程为133 km.延伸探究 本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程比较两次求出的结果是否一样？解析：将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间
9、为1i1n，1in.所以 siv1in 1n.snni1v1in1n3 1n31222(n1)2n2 1n22462(n1)2n3n12n16n2n1n.slimnsnlimn 3n12n16n2n1n133.所以这段时间行驶的路程为133 km.所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的方法技巧 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似都是求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪探究 2.一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻 t 的速度为 v(t)t25(单位：km/h)，试计算这辆汽车在 0
10、t2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)解析：(1)分割：在区间0,2上等间隔插入 n1 个点，将区间分成 n 个小区间，记第 i个小区间为2i1n，2in(i1,2，n)，t2n.则汽车在时间段0，2n，2n，4n，2n1n，2nn 上行驶的路程分别记为：s1，s2，si，sn，有 snni1si.(2)近似代替：取 i2in(i1,2，n)，siv2in t2in25 2n4i2n22n10n(i1,2，n)(3)求和：snni1sini1 4i2n22n10n81311n 1 12n 10.(4)取极限：slimnsnlimn 81311n 1 12n 10 223.课后小
11、结求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n 等分区间a，b；(2)近似代替：取点 ixi1，xi；(3)求和：ni1f(i)ban；(4)取极限：slimnni1f(i)ban.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)素养培优忽略题目限制条件致误易错案例：求由抛物线 yx2与直线 y4 所围成的平面图形的面积易错分析：用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽略题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误考查“以直代曲”的思想及运算能力等核心素养自我纠正：yx2为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0，y4 所围图形面积 S 阴影的 2 倍下面求 S 阴影由yx2x0y4得交点为(2,4)，(1)分割将区间0,2n 等分，则 x2n.即 i2i1n(i1,2，n)(2)近似代替：Sif(i)x2i1n22n.(3)求和Snni1 2i1n22n 8n3122232(n1)28311n 1 12n.(4)取极值SlimnSnlimn 8311n 1 12n 83.所求平面图形的面积为 S 阴影2483163.2S 阴影323，即抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的平面图形面积为323.04 课时 跟踪训练