1、专题限时集训(十三)圆锥曲线中的综合问题建议用时：45分钟1(2016哈尔滨一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右顶点A(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)过点M的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值. 【导学号：04024119】解 (1)由题意得解得所以C的方程为y214分(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为xmy，与y21联立得(m24)y23my0，6分由0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y2，8分k1k2，k1k2为定值，定值为12分2(2017海口模拟)已知椭圆
2、E：1(ab0)经过点，离心率为，点O为坐标原点图132(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的左焦点F任作一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上解 (1)由题易得解得所以c2，所以椭圆E的方程为y21.5分(2)证明：设直线l的方程为yk(x2)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立yk(x2)与y21，可得(15k2)x220k2x20k250，6分所以x1x2，x1x28分设直线FN的方程为y(x2)，M(x0，y0)，9分则x0，y0k(x02)，10分所以kOM，所以直线OM的
3、方程为yx，联立解得所以点N在定直线x上12分3(2017石家庄二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解 (1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k22分于是由k1k2，得，整理得14分(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立得(4k23)x216kx320，所以x1x2，x1x26分从而，x1x2y1y2x
4、1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)4208分2010分当直线PQ斜率不存在时，易得P，Q两点的坐标为(0,2)，(0，2)，所以的值为20.综上所述，的取值范围为12分4(2017广东六校联盟联考)已知点P是圆O：x2y21上任意一点，过点P作PQy轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求AOB面积的最大值【导学号：04024120】解 (1)设点M(x，y)，P为QM的中点，1分又有PQy轴，P，2分点P是圆：x2y21上的点，2y21，即点M的轨迹E的方程为y214分(2)
5、由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l与圆O：x2y21相切，1，即m2t21，6分由消去x，并整理得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)480，则y1y2，y1y2.8分|AB|，将代入上式得|AB|，|m|1，10分SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立，(SAOB)max112分5(2016开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图133(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积
6、的取值范围解 (1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以椭圆的方程为y216分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：ykxm(m0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x26分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m208分又m0，所以k2，即k.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.设d为点O到直线l的距离，则d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面积的取值范围为(0,1)12分