1、第7讲抛物线, )1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上
2、时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线(2)对于抛物线标准方程中参数p，易忽视只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切1. 抛物线8x2y0的焦点坐标为()A(0，2)B(0，2)C DC 由8x2y0，得x2y.2p，p，所以焦点为，故选C.2. 以x1为准线的抛物线的标准方程为()Ay22x By22xCy24x Dy24xD 由准线
3、x1知，抛物线方程为y22px(p0)且1，p2，所以方程为y24x，故选D.3M是抛物线y22px(p0)位于第一象限的点，F是抛物线的焦点，若|MF|p，则直线MF的斜率为()A BC DA 设M(x0，y0)，由|MF|p，得x0，所以x02p.所以y2px04p2，取正根得y02p.即M的坐标为(2p，2p)，又F的坐标为(，0)，所以kMF，故选A.4动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. y24x5. 抛物线x22py(p0
4、)上的点P(m，2)到焦点F的距离为3，则该抛物线的方程为_ 根据抛物线定义可知23，所以p2，所以抛物线的方程为x24y. x24y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则MFO的面积为()ABC D(2)已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_【解析】(1)由题意知，抛物线准线方程为x.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b，所以SMFO.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|，则有|PB
5、|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.【答案】(1)B(2)4若本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值 由题意可知点(3，4)在抛物线的外部因为|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|. 1(2017云南省统一检测)设经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物
6、线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心B 设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切2(2017长春调研)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A B2C D3B 由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设
7、抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)抛物线方程的实际应用(1)(2016高考全国卷乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6 D8(2)若抛物线的焦点为直线3x
8、4y120与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为_【解析】(1)由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选B.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3，令y0，得x4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，3)或(4，0)当焦点坐标为(0，3)时，设方程为x22py(p0)，则3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y22px(p0)，则4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所以所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.【答案】(1)B(2)
9、x212y或y216x(1)求抛物线的标准方程的方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量(2)确定及应用抛物线性质的技巧利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解 角度一求抛物线方程1以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是()Ay4x2 By8x2Cy24x Dy28xD 设抛物线的方程为y22px(p0)，则由抛物线的定义知13，即p4，所以抛物线方程为y
10、28x. 角度二由已知求参数p2(2017襄阳调研测试)抛物线y22px的焦点为F，M为抛物线上一点，若OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p()A2 B4C6 D8B 因为OFM的外接圆与抛物线的准线相切，所以OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，所以3，所以p4. 角度三抛物线方程的实际应用3如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为_米 建立坐标系如图所示则可设抛物线方程为x22py(p0)因为点(2，2)在抛物线上，所以p1，
11、即抛物线方程为x22y.当y3时，x.所以水位下降1米后，水面宽为2米 2直线与抛物线的位置关系(2016高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由【解】(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y
12、22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物
13、线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，从而导致漏解(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点：当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2ax(a0)；当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2ay(a0)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的焦点重合，则抛物线的准线方程为_ 由椭圆1，得c2954，即c2，故椭圆的焦点坐标为(2，0)即抛物线的焦点坐标为(2，0)所以当p0时，抛物线的准线方程为x2；当p0)与C交于点P，PFx轴，则k()A B1C D2D 易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2(2舍去)，把P(1，2
14、)代入曲线y(k0)得k2.4设F为抛物线y22x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1 B2C3 D4C 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1x2x33，则|(x1x2x3)3.5直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24xB 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得|x1|x2|p8，又AB的中点到y轴的距离为2，即|x1|x2|4，所以p4，所以y28x.故选B
15、.6已知抛物线y24x，圆F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正确的是()A等于1 B等于4C最小值是1 D最大值是4A 设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，所以|AB|CD|x1x2.而y1y24，故|AB|CD|1.7(2017资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_ 设抛物线方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得
16、m8.所以抛物线方程是x28y. x28y8(2017云南省第一次统一检测)已知抛物线C的方程为y22px(p0)， M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_ 将M的方程化为标准方程：(x4)2y24，圆心坐标为(4，0)，半径r2，又因为抛物线的准线方程为x，所以2，p12或4. 12或49经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1_ 由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，A
17、FA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1. 10(2017豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2y220的两条渐近线围成的三角形的面积为4，则抛物线方程为_ 由双曲线方程5x2y220知其渐近线方程为yx，由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，故其准线方程为x，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令A，B，故SABOpp24，解得p216，又因为p0，所以p4，故抛物线方程为y28x. y28x11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A
18、作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标 (1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以N的坐标为.12(2017长春一模)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()AB C.D.A 记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA
19、1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cosABB1，即cos 60，由此得.13已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1，0)因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程
20、联立得消元得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.14已知圆C过定点F，且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR)相交于A，B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于时，求k的值 (1)由题意，点C到定点F和直线x的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1y2，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1，0)所以SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|，|ON|y1y2|1 ，解得k.