1、 第 2 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：sin cos tan_.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ)2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_ tan_ tan_ 口诀 函数名不变，符号
2、看象限 函数名改变，符号看象限 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是 为锐角.()(2)六组诱导公式中的角 可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(4)若 sin(k)13(kZ)，则 sin 13.()解析(1)对于 R，sin()sin 都成立.(4)当 k 为奇数时，sin 13，当 k 为偶数时，sin 13.答案(1)(2)(3)(4)2.(2017泰安模拟)sin 600的值为()A.12 B.32 C.12 D.32 解析 si
3、n 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 6032.答案 B 3.已知 sin52 15，那么 cos()A.25 B.15 C.15 D.25 解析 sin52 sin2 cos，cos 15.故选 C.答案 C 4.已知 sin cos 43，0，4，则 sin cos 的值为()A.23 B.23 C.13 D.13 解析 sin cos 43，sin cos 718.又(sin cos)212sin cos 29，sin cos 23 或 23.又0，4，sin cos 23.答案 B 5.(必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则sin cos
4、sin cos 的值为_.解析 原式tan 1tan 121213.答案 3 6.(2017丽水调研)设 a 为常数，且 a1，0 x2，则当 x_时，函数 f(x)cos2x2asin x1 的最大值为_.解析 f(x)cos2x2asin x11sin2x2asin x1(sin xa)2a2，因为 0 x2，所以1sin x1，又因为 a1，所以 f(x)max(1a)2a22a1.答案 2 2a1 考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例 1】(1)(2015福建卷)若 sin 513，且为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125 B.125 C.512 D.512(2)(201
5、7东阳模拟)已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin 的值为()A.32 B.32 C.34 D.34(3)(2016全国卷)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425 B.4825 C.1 D.1625 解析(1)sin 513，且 为第四象限角，cos 1sin21213，tan sin cos 512，故选 D.(2)54 32，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，cos sin 32.(3)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin2 14tan 1ta
6、n2 6425.答案(1)D(2)B(3)A 规律方法(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练 1】(1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan()A.1 B.22 C.22 D.1(2)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.1
7、03 B.53 C.23 D.2 解析(1)由sin cos 2，sin2cos21，得：2cos22 2cos 10，即()2cos 120，cos 22.又(0，)，34，tan tan 34 1.(2)3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.答案(1)A(2)A 考点二 诱导公式的应用【例 2】(1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(1 2
8、sin 0)，求f236的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30 32 32 12121.(2)f()（2sin）（cos）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos（12sin）sin（12sin）1tan，f2361t
9、an2361tan461tan6 3.规律方法(1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos.【训练 2】(1)已知 Asin（k）sin cos（k）cos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A.1，1，2，2 B.1，1 C.2，2 D.1，1，0，2，2(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_.解析(1)当 k 为偶数时，Asin sin
10、cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.(2)原式 tan cos（cos）cos（）sin（）tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.答案(1)C(2)1 考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例 3】(1)已知 tan6 33，则 tan56 _.(2)(2017温州模拟)已知 cos512 13，且2，则 cos12 等于()A.2 23 B.13 C.13 D.2 23 解析(1)56 6 ，tan56 tan6 tan6 33.(2)因为512 12 2，所以 cos12 sin2 12sin512 .因为
11、2，所以712 512 0，所以2 512 12，所以 sin512 1cos2512 11322 23.答案(1)33 (2)D 规律方法(1)常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4 等.(2)常见的互补的角：3 与23；4 与34 等.【训练 3】(1)已知 sin3 12，则 cos6 _.(2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x时，f(x)0，则 f236()A.12 B.32 C.0 D.12 解析(1)3 6 2，cos6 cos2 3 sin3 12.(2)由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin x
12、sin xf(x)，所以 f236 f116 2 f116 f56 f56 sin56.因为当 0 x时，f(x)0.所以 f236 01212.答案(1)12(2)A 思想方法 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan xsin xcos x进行切化弦或弦化切，如asin xbcos xcsin xdcos x，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin211tan2 tan 4.易错防范 1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.