1、第3讲导数与函数的极值、最值最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)
2、在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)
3、，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)x33x1有()A.极小值1，极大值1 B.极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2 D.极小值1，极大值3解析因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小
4、值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3.答案D3.(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A4.(2017武汉模拟)函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_.解析y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8, 所以最大值为8.答案85.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.解析f(x)a，f(1)1a0，a1，经检验符合题意.答案16.(2017杭州调研)函数yx2cos x在区间上的最大值
5、为_；最小值为_.解析yx2cos x，x，y12sin x，x，令y0，得x，当x时，y0，当x时，y0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a3 B.a D.a0在R上恒成立，f(x)无极值点；当a0得a0得x1，令f(x)0得x1.所以函数f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增.当m1时，f(x)在m，m1上递增，f(x)minf(m)(m2)em，当0m1时，f(x)在m，1上递减，在(1，m1上递增，f(x)minf(1)e.当m0时，m11，f(x)在m，m1上单调递减，
6、f(x)minf(m1)(m1)em1.综上，f(x)在m，m1上的最小值为f(x)min思想方法1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.易错防范1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.