1、第5讲指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象及性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0
2、，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y11辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1或0a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.1. 有下列四个式子： 8； 10； 3；ab.其中正确的个数是()A1B2C3 D4B 正确，|10|10，错误；|3|(3)3，错误，故选B.2下列函数中，
3、满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x Bf(x)x3Cf(x) Df(x)3xD 根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(xy)f(x)f(y)又f(x)3x是增函数，所以D正确3(2017东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()Ay By|x2|Cy2x1 Dylog2(2x)A 由f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，又0，知(1，1)不在y的图象上4(2017皖北协作区联考)函数f(x)的值域为_ 由1ex0，ex1，故函数f(x)的定义域为x|x0所以0ex1，1ex0，01ex1，函
4、数f(x)的值域为 由题意知0a211，即1a22，得a1或1a1，b1，b0C0a0D0a1，b0D 由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.2若函数y21xm的图象不经过第一象限，求m的取值范围 ym，函数y的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m2.指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等
5、式；(3)研究指数型函数的性质(1)已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()AcabBbacCacb Dab，所以，即ba1.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1B A中，因为函数y1.7x在R上是增函数，2.53，所以1.72.51.73.B中，因为y0.6x在R上是减函数，10.62.C中，因为0.811.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小因为y1.25x在R上是增函数，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11，00.93.10.93.1. 角度二解简单的指数方程或不等式2(2015高考江苏卷
6、)不等式2x2x4的解集为_ 因为2x2x4，所以2x2x22，所以x2x2，即x2x20，所以1x2. x|1x0且a1)的函数、方程、不等式问题，通常令tax(tlogax)进行换元巧解，但一定要注意新元的范围已知函数y9xm3x3在区间上单调递减，则m的取值范围为_ 设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x，所以t.又函数y9xm3x3在区间上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围为(，18 (，18 1下列函数中值域为正实数的是()Ay5xByCy DyB A中，y5x0，故12x1，又12x0，故0y0，a1)的图象可能是()D 函数yax
7、的图象由函数yax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误4已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()Aabc BacbCcab DbcaA 由0.20.6，0.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.5(2017莱芜模拟)若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 BB 由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因为g(x)|2x4|在 当a0时，不等式f(a)1可化为71，即8，即，因为03，此时3a0
8、；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1时，函数f(x)axb在上为增函数，由题意得无解当0a1时，f(x)在区间 因为函数f(x)a的图象经过第二、三、四象限，所以a1.则g(a)f(a)f(a1)aa.因为a3，则2，故g(a)的取值范围是(2，)14(2017济南模拟)已知函数f(x)设ab0，若f(a)f(b)，则bf(a)的取值范围是_ 画出函数图象如图所示，由图象可知要使ab0，f(a)f(b)同时成立，则b1.bf(a)bf(b)b(b1)b2b，所以bf(a)0且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当x(0，1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围 (1)因为f(x)是定义在(，)上的奇函数，所以f(0)0，即10.解得a2.(2)因为yf(x)，所以2x.由2x0知0，所以1y1.即f(x)的值域为(1，1)(3)不等式tf(x)2x2等价于2x2，即(2x)2(t1)2xt20.令2xu，因为x(0，1，所以u(1，2又u(1，2时，u2(t1)ut20恒成立所以解得t0.故所求t的取值范围为0，)