1、考点规范练12函数与方程基础巩固1.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0答案:D解析:当x1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上可知函数f(x)的零点只有0,故选D.2.函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-1x的零点.f(x)在区间(0
2、,+)内图象是连续的,且f(1)=ln2-10,f(x)的零点所在区间为(1,2).故选B.3.由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(kZ),则k的值为()x12345ln x00.691.101.391.61x-2-10123A.1B.2C.3D.4答案:C解析:当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,f(3)f(4)0,f1+330,函数f(x)的零点个数为1,故选B.8.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x0,1时,f(x)=
3、x,则关于x的方程f(x)=110x在区间0,4上解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.x0,1时,f(x)=x,又f(x)是偶函数,f(x)的图象与y=110x的图象如图所示.由图象可知f(x)=110x在区间0,4上解的个数是4.故选D.9.若函数f(x)=2x-a,x0,lnx,x0有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.答案:(0,1解析:当x0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.令f(x)=2x-a=0,得a=2x.因为当x0时
4、,02x20=1,所以0a1.所以实数a的取值范围是00,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案:(0,1)解析:因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).11.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案:x1x2x3解析:令y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1,y=-x,函数f(x)
5、=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,即为函数y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1与函数y=-x交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x1x2x2),则下列结论正确的是()A.1x12,x1+x22B.1x12,x1+x21,x1+x21,x1+x21答案:A解析:函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2x1),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),可知1x12.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b2
6、时,由图可知x1+x20)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-4答案:B解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.f(x)在区间0,2上为增函数,f(x)在区间-2,0上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2(-6),另两个交点的横坐标之和为22,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.15.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+
7、x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b)B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b)D.f(b)f(1)0在xR上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1);由题意,知g(x)=1x+10在x(0,+)内恒成立,故函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.又g(1)=ln1+1-2=-10,所以函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)1,2x,x1,则函数h(x)=f(x)-g(x)
8、在区间-5,5上的零点的个数为.答案:8解析:f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x).又x-1,1时,f(x)=x2,f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5x5)与y=2x(x1)有5个交点,y=f(x)(-5x5)与y=log3(x-1)(x1)的图象有3个交点,故共有8个交点.高考预测18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR都有f(x+1)=f(x-1).当0x1时,f(x)=x2.若函数y=f(x)-x-a在区间0,2上有三个不同的零点,则实数a的取值范围为.答案:-14,0解析:因为对任意的xR都有f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x).所以函数f(x)的周期为2.由f(x)-x-a=0,得f(x)=x+a.又当0x1时,f(x)=x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,故可画出f(x)的示意图,如图所示.设直线y=x+a与抛物线f(x)=x2在0,1之间相切于点P(x0,y0),由f(x)=2x,可得2x0=1,解得x0=12.故y0=122=14,即P12,14,将点P代入y=x+a,得a=-14.当直线经过点O,A时,a=0.若函数y=f(x)-x-a在区间0,2上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在区间0,2上恰有三个不同的公共点,则-14a0.