1、知识点考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式和与差的三角函数公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换
2、(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)三角函数的图象与性质1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题解三角形应用
3、举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数, )1角的有关概念(1)角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类(3)所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零(2)角度制和弧度制的互化：180 rad，1 rad，1 rad(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r23任意角的三角函数三角函数正
4、弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角(2)利用180 rad进行互化时，易出现度量单位的混用(3)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在
5、坐标轴上的情况2活用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧1. 2 01768是第几象限角()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限B 因为2 0176814253526360，1425352是第二象限角，故选B.2. 单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10 B9C D D3. 若角满足tan 0，sin 0，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 C4. 已知的终边过点P(12，5)，则cos 的值为()A BC DA x12，y5，所以r13，所以
6、cos .5下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)C 与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确象限角及终边相同的角(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个(2)设集合Mx|x18045，kZ，Nx|x18045，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN【解析】(1)是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确(2)法
7、一：由于Mx|x18045，kZ，45，45，135，225，Nx|x18045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.法二：由于M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.【答案】(1)C(2)B 1若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角C 因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角2在7200范围内所有与45终边相同的角为_ 所有与45有相同终边的角可表示为：45k36
8、0(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k0，cos 0，cos 0，所以是第二象限角所以点(3a9，a2)在第二象限，所以解得2a3. (2，3)扇形的弧长、面积公式已知扇形的圆心角是 ，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25，此时l10(cm)，2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l
9、|r，扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制1已知扇形周长是6，面积是2，则扇形圆心角的弧度数是()A1B4C1或4 D2或4C 设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.2若扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，则弧长l_cm. 设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，所以l|r4 cm. 三角函数的定义(高频考点)任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容在高考中以选择题、填空题的形式出现高
10、考对三角函数定义的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知角终边上一点P的坐标求三角函数值；(2)已知角的终边所在的直线方程求三角函数值；(3)判断三角函数值的符号(1)已知是第四象限角，则sin(sin )()A大于0B大于等于0C小于0 D小于等于0(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _(3)若角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos 和tan 的值【解】(1)选C.因为是第四象限角，所以sin (1，0)令sin ，当10时，sin 0.故sin(sin )0时，r5a，sin ，cos ，tan ；当a0时，r5a，sin
11、，cos ，tan .用定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解 (2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标 角度一已知角终边上一点P的坐标求三角函数值1设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A BC DD 因为是第二象限角，所以x0.又由题意知x，解得x3.所以tan . 角度二已知角的终边所在的直线方程求三角函数值2已知角的顶点与原点
12、重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A BC DB 取终边上一点(a，2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，由tan 2，可得cos ，故cos 22cos21. 角度三判断三角函数值的符号3若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角C 由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0，故选C.3已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上 By轴上C直线yx上 D直线yx上A |cos |1，则角的终边在x轴上4已知角的终边与单位圆的交点P(x，)，则tan ()A B
13、C DB 因为P(x，)在单位圆上，所以x.所以tan .5已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3B 由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.6(2017安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角，且5的终边上有一点P(sin(50)，cos 130)，则的值为()A8 B44C26 D40B 因为sin(50)0，cos 130cos 500，所以点P(sin(50)，cos 130)在第三象限又因为090，所以05450.又因为点P的坐标可化为(cos 220，si
14、n 220)，所以5220，所以44，故选B.7已知角的终边上有一点的坐标为，若(2，2)，则所有的组成的集合为_ 因为角的终边上有一点的坐标为，所以角为第四象限角，且tan ，即2k，kZ，因此落在(2，2)内的角的集合为. 8若是第三象限角，则180是第_象限角 因为是第三象限角，所以k360180k360270，所以k360270k360180，(k1)360270180(k1)360360，其中kZ，所以180是第四象限角 四9(2017山西大同一模)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_ 因为cos ，所以，解得x. 10一扇形的圆心角为120，则此扇形的面积与其内
15、切圆的面积之比为_ 设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(Rr)sin 60r，即R(1)r.又S扇|R2R2R2r2，所以. (74)911已知sin 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限 (1)由sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为|2k2k，kZ(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故终边在第二、四象限12(2017连云港质检)已知角的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角的最小正值为()A BC DD 因为(sin ，cos )(，)，所以角为第四象限角，且sin ，cos .所以角的最小正值为.13已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x
16、，求sin cos 的值 因为的终边过点(x，1)(x0)，所以tan .又tan x，所以x21，即x1.当x1时，sin ，cos .因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值为0或.14已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或所以或6.(2)法一：因为2rl8，所以S扇lrl2r()2()24，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：因为2rl8，所以S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB2sin 124sin 1.