1、黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科数学期终试题（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知命题：，则为（ ）A，B，C，D，2关于x的不等式的解集为（ ）ABCD3已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。A、 B、 C、 D、4设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件5已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）A0BCD6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有
2、大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一7已知等比数列满足，则（ ）A64 B81 C128 D2438.已知椭圆x225+y216=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为()A.2B.3C.5D.79若双曲线的一个焦点为，则( )。A、 B、 C、 D、10已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到
3、渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。A、 B、 C、 D、11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足PMPN=12,则点P的轨迹方程为()A.x216+y2=1B.x2+y2=16C.y2-x2=8D.x2+y2=812已知椭圆：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。A、 B、 C、 D、二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若抛物线y2mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为 14.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,0,2),若ab,则的值是.15若正实数满足，则的最小值为 .16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆
4、上任一点，点的坐标为，则的最大值为_三、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)0，命题：实数满足若为真，求实数的取值范围。18.（本题12分） 19（本题12分）在中，=60，（）求的值；（）若，求的面积20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是棱上一点，且.(1) 求直线与所成角的余弦值；(2) 求二面角的余弦值21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程
5、；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x1的距离相等，记点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科数学期终试题参考答案（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知命题：，则为（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】因为命题：，所以为，故选A2关于x的不等式的解集为（ ）AB
6、CD【答案】B【解析】不等式可化为，有，故不等式的解集为.故选B3已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由已知得，即，则，故选A。4设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得：，是必要条件，而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。5已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）A0BCD【答案】D【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，即直线，将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，由，得，
7、即，所以的最小值为，故选D6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项，且，公差为，则，解得，簪裹得一鹿，故选B。7已知等比数列满足，则（ ）A64 B81 C128 D243答案：A8.已知椭
8、圆x225+y216=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7【解析】选D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,P到另一焦点的距离是10-3=7.9若双曲线的一个焦点为，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由双曲线性质：，故选B。10已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，焦点到渐近线的距离为，则，则，双曲线方程为，故选B。11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足PMPN=12,则点P的轨迹方程为()A.x216+y2=1B.x2
9、+y2=16C.y2-x2=8D.x2+y2=8【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.【解析】选B.设P(x,y),PM=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y).由PMPN=12得x2-4+y2=12即x2+y2=1612已知椭圆：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：，则：，故选B。四、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线y2mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为【分析】直接由抛物线方
10、程写出焦点坐标，由题意得求出m的值【解答】解：由抛物线方程得：焦点坐标（，0），m2，故答案为：214.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,0,2),若ab,则的值是.【解析】ab,存在实数k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,0,2),解得k=15.答案:1515若正实数满足，则的最小值为_.【答案】6；【解析】因为，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6故填616.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_解析 PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PMP
11、F2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF21015.答案 15五、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）设命题：实数满足(x-1)(x-3)0，命题：实数满足若为真，求实数的取值范围。【解析】由(x-1)(x-3)0，则：，由解得即：若为真，则，同时为真，即，解得，实数的取值范围18.（本题12分） 19（本题12分）在中，=60，（）求的值；（）若，求的面积【解析】（）在ABC中，因为，所以由正弦定理得（）因为，所以，由，所以由余弦定理得，解得或（舍）所以ABC的面积20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是棱
12、上一点，且.(1) 求直线与所成角的余弦值；(2) 求二面角的余弦值解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0，2，2)， x00，y0，z0，点P坐标为. ，(1，0，0)设直线AB与CP所成的角为，则cos .(2) 设平面APC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则令y12，则x14，z11，m(4，2，1)设平面SCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)，因为(1，0，0)，(0，2，2)，所以令y21，
13、则z21，n(0，1，1)设二面角APCD的大小为，由于cosm，n，所以由向量m，n的方向，得cos cosm，n.21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知，得c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a7，m3.所以b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1PF214，PF1PF
14、26，所以PF110，PF24.又F1F22，故cosF1PF2.22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x1的距离相等，记点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：【解答】（1）解：点M到点F（1，0）和直线x1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y22px（p0），1，p2轨迹C的方程为y24x（2）证明：设l1的方程为yk（x1），代入抛物线方程，整理可得k2x（2k2+4）x+k20，设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2，|P1P2|x1+x2+p，以代入，可得|Q1Q2|4+4k2，