1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数目标定位重点难点1.理解闭区间上的连续函数必有最大值、最小值2.掌握闭区间上连续、开区间上可导的函数的最大值、最小值的求法重点：可导函数的最值的求法难点：对闭区间上的连续函数必有最大值、最小值的理解1最大值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有_，则称f(x0)为函数在_的最大值f(x)f(x0)定义域I上2函数最值存在的条件一般地，如果在区间a，b上的函数f(x)的图象是一条_的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是_；(2)函数图象在区间上的每一点必须_注意：函数的最值是比较整个_的函数值得出的，函数
2、的极值是比较_的函数值得到的连续不断闭区间连续不间断定义域极值点附近3求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在(a，b)内的_；(2)将f(x)的各极值与_比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小1函数yxex在区间0,2上的最大值是()A1eB2e2C0D 12 e【答案】A2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值【答案】D【答案】364函数f(x)ln xx在(0，e上的最大值为_【答案】13已知函数f(x)4x ax(x0，a0)在x
3、3时取得最小值，则a_.求函数的最值【例1】求下列函数的最值(1)f(x)x33x，x 3，3；(2)f(x)x42x23，x3,2【解题探究】函数在a，b内的最值即先求函数在(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较【解析】(1)f(x)3x23，由f(x)3(x21)3(x1)(x1)0，得x1，f(1)2，f(1)2，f(3)0，f(3)0，所以f(x)的最大值为2，最小值为2.(2)f(x)4x34x，由f(x)4x(x1)(x1)0，得x1或x0或x1，当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表.x3(3，1)1(1，0)0(0，1)1(1，2)2f(x)000f(x)60
4、极大值4 极小值3 极大值4 5所以当x3时，f(x)有最小值60；当x1或x1时，f(x)有最大值4.极值与最值是不一样的概念，在求闭区间上的最值时，切勿忘记端点的函数值1求函数f(x)2cos xx在区间2，2 上的最大值与最小值【解析】f(x)2sin x1，令f(x)0，得x6，f6 36，又f2 2，f2 2，函数f(x)的最大值为2，最小值为 36.利用最值求参数【例2】设23a1，函数f(x)x332ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为 62，求a，b的值【解题探究】含有参数的函数最值求法与一般函数求法相同【解析】f(x)3x23ax3x(xa)，当x变化时，f(x)，f(x
5、)的变化情况列表如下：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)132ab b a32 b 132 ab当x0时，f(x)取极大值b，而f(1)f(0)，f(a)f(1)，故需比较f(0)与f(1)的大小f(0)f(1)32a10，f(x)的最大值为f(0)b1.又f(1)f(a)12(a33a2)12(a1)2(a2)0，f(x)的最小值为f(1)32a1b32a 62.a 63，b1.已知函数最值求参数的步骤（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.（2）通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.（3）结合已知求出参数，进而使问题得以解决.2
6、已知函数f(x)ax36ax2b在区间1,2上的最大值是3，最小值是29，求a，b的值【解析】f(x)3ax212ax3ax(x4)，在区间1,2上，令f(x)0，得x0.由题知a0.当a0时，函数f(x)在x0处取得极大值，又f(0)b，f(1)7ab，f(2)16ab，故f(0)f(1)f(2)，所以f(0)3，f(2)29，解得a2，b3.当a0时，函数f(x)在x0处取得极小值且f(0)f(1)f(2)，所以f(0)29，f(2)3，解得a2，b29.与最值有关的综合问题【例3】设函数f(x)12x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数
7、m的取值范围【解题探究】(1)解f(x)0，f(x)0即可；(2)首先求出f(x)在区间2,2内的值域，再令f(x)minm即可【解析】(1)f(x)xex12x2exex2x(x2)由ex2x(x2)0，解得x0或x2，(，2)，(0，)为f(x)的增区间；由ex2x(x2)0，得2xm恒成立，m0.故m的取值范围为(，0)在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题3已知f(x)x3x2x3，x1,2，f(x)m0恒成立，求实数m的取值范围【解析】由f(x)mf(x)恒成立，知mf(x)max.f(x)
8、3x22x1，令f(x)0，解得x13或x1.因为f13 8627，f(1)2，f(1)2，f(2)5，所以f(x)的最大值为5.故m的取值范围为(5，)求最值易错【示例】求函数f(x)4x33x236x5在区间2,2上的最大值和最小值【错解】f(2)57，f(2)23.最大值为57，最小值为23.【错因分析】一定注意不要只求区间端点处的函数值，这是较易出现错误的地方【正解】f(x)12x26x366(2x2x6)，令f(x)0，解得x12，x232.又f(2)57，f32 1154，f(2)23，所以函数f(x)的最大值为57，最小值为1154.【警示】最值是指函数在自变量指定的取值范围内或
9、隐含定义域内的最大值和最小值，要求出极值和区间端点处的函数值再比较1正确理解函数的极值与最值概念，弄清它们的区别与联系2闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值3求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1(2017年云南模拟)函数yxex，x0,4的最小值为()A0 B1e C1e4 D2e2【答案】A【解析】f(x)1xex，当x0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,4时，f(x)0，f(x)单调递减，f(0)0，f(4)4e40，当x0时，f(x)有最小值0.故选A2(
10、多选题)函数 f(x)x3x2 在1,3上()A有最大值 18B有最小值2C有最大值 0D有最小值 427【答案】AB【解析】根据题意，知 f(x)3x22x，x1,3，令 f(x)0，则 x0 或 x23.f(x)在0，23 上单调递减，在1,0和23，3上单调递增显然 x0 是极大值点，x23是极小值点，f(1)2，f(0)0，f23 427，f(3)18.所以函数 f(x)在1,3上有最大值为 18，有最小值为2.故选 AB3(2019年江西抚州模拟)已知f(x)，其中e为自然对数的底数，则()Af(2)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(e)f(2)f(3)Df(e)f(3
11、)f(2)【答案】D【解析】f(x)ln xx，f(x)1ln xx2，令 f(x)0，解得 xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，故 f(x)在 xe 处取得最大值 f(e).又 f(2)f(3)ln 22 ln 33 3ln 22ln 36ln 8ln 960，f(2)f(3)，则f(e)f(3)f(2).故选 D.4(2017年天津模拟)若函数f(x)x33x2a在区间1,1上的最大值是2，则实数a的值为_【答案】2【解析】f(x)3x(x2)，令f(x)0，解得x2或x0，令f(x)0，解得0 x2，f(x)在1,0上单调递增，在0,1上单调递减，f(x)maxf(0)a2.故答案为2.