1、第二章方程(组)与不等式(组)第三节一元二次方程及其应用考 点 帮易错自纠易错点1忽视一元二次方程二次项系数不为01.若方程(m-1)xm2+1-(m+1)x-2=0是一元二次方程,则m的值为-1.易错点2误认为关于x的方程ax2+bx+c=0一定是一元二次方程2.关于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有实根,则( B )A.m3B.m3C.m3且m2D.m3且m2易错点3一元二次方程ax2+bx+c=0有2个实数根时,忽略=0的情况3.方程x2+2x+k=0有2个实数根,则k的取值范围是( B )A.k1 B.k1C.k-1 D.k0,x=-bb2-4ac2a=-152,故x1=-1+52
2、,x2=-1-52. 考点2根的判别式9.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是( D )A.x2-x+14=0B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0D.x2-2x=010.2020安庆模拟已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1a+c的值等于( B )A.-2B.2C.4D.-411.2020合肥庐阳区模拟若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,则k的取值范围是( D )A.k1B.k1C.k1D.k112.2020辽宁抚顺若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是k0.解得m2.(2)由(1)知,m
3、32,不合题意,舍去.答:售价应定为30元/千克.综合提升练(建议用时:20分钟)1.2020甘肃陇南已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根,则m的值为( B )A.-1或2B.-1C.2D.02.2020河南定义运算:mn=mn2-mn-1.例如:42=422-42-1=7.则方程1x=0的根的情况为( A )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根3.2020浙江衢州某厂家2020年15月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的月平均增长率为x,根据题意可得方程( B )A.180(1-x)2=461B.18
4、0(1+x)2=461C.368(1-x)2=442D.368(1+x)2=4424.2020湖南邵阳中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔几步.”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为864平方步,它的宽比长少12步,问它的宽是多少步.利用方程思想,设宽为x步,则依题意列方程x(x+12)=864.5.2020阜阳颍州区一模已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+34m2+12m=0.(1)证明:该方程有实数根;(2)当m=4时,该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长,求该三角形的面积.(1)证明:=-(2m+1)2-41(34m
5、2+12m)=4m2+4m+1-3m2-2m=m2+2m+1=(m+1)20,该方程有实数根.(2)解:当m=4时,该方程为x2-9x+14=0,解得x1=2,x2=7.2+27,该等腰三角形的腰长为7,底边长为2.底边上的高线长为72-12=43,该三角形的面积为12243=43.6.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆正好住满;每间房每天的定价每增加10元,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.问当房价定为每间房每天多少元时,宾馆当天的利润为10 890元.解:设房价定为每间房每天x元,则当天有游客居住的房间的数量为(50-x-1
6、8010)间,每间房的利润为(x-20)元,根据题意,得(x-20)(50-x-18010)=10 890,整理,得x2-700x+122 500=0,解得x1=x2=350.答:当房价定为每间房每天350元时,宾馆当天的利润为10 890元.全国视野创新练新设问2020黑龙江大庆已知关于x的一元二次方程:x2-2x-a=0,有下列结论:当a-1时,方程有两个不相等的实根;当a0时,方程不可能有两个异号的实根;当a-1时,方程的两个实根不可能都小于1;当a3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为3.参考答案【易错自纠】1.-1由题意得m-10,m2+1=2,故
7、m=-1.2.B分两种情况进行讨论.当m-2=0,即m=2时,(m-2)x2-2x+1=0可化为-2x+1=0,是一元一次方程,有实数根;当m-20,即m2时,(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若该方程有实数根,则0,即(-2)2-4(m-2)1=12-4m0,解得m3,故m3且m2.综上可知m3.故选B.3.B方程x2+2x+k=0有2个实数根,=22-4k0,k1.4.x1=1,x2=-2原方程可化为(2x+1)2=9,两边开平方,得2x+1=3,x1=1,x2=-2.5.x1=2,x2=-2原方程可化为x(x+2)-2(x+2)=0,提取公因式,得(x+2)(x-2)=0,x-
8、2=0或x+2=0,x1=2,x2=-2.1.D原方程移项、因式分解,可得(x-2)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=2,所以该一元二次方程的根是2和-1.24.略5.A逐项分析如下:选项分析根的情况A方程可转化为(x-1)2=0,故x1=x2=1.有两个相等的实数根.B方程可转化为x2=-1,-10.有两个不相等的实数根.D方程可转化为x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有两个不相等的实数根.故选A.6.A由题可知=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+40,原方程有两个不相等的实数根.故选A.7.A将该方程化为一般形式,为x2+(1+a
9、)x=0.若该方程有两个相等的实数根,则=(1+a)2=0,解得a=-1.8.D第一次降价后的价格为每盒25(1-x)元,第二次降价后的价格为每盒25(1-x)2元,由此可列方程25(1-x)2=16.9.C2014年的快递业务量为1.4(1+x)亿件,2015年的快递业务量为1.4(1+x)(1+x)=1.4(1+x)2(亿件),由此可得方程1.4(1+x)2=4.5.10.B去年下半年发放的资助金额为389(1+x)元,今年上半年发放的资助金额是389(1+x)(1+x)元,即389(1+x)2元,所以有389(1+x)2=438.基础分点练1.Dx2+2x=x(x+2)=0,解得x1=-
10、2,x2=0.2.A2x2-3x-1=0,x2-32x=12,x2-32x+(34)2=12+(34)2,(x-34)2=1716.3.D方法一:a=1,b=-5,c=6,由公式法可得x1=2,x2=3.方法二:(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,所以x1=2,x2=3.4.1将x=1代入x2+ax-2=0,得1+a-2=0,解得a=1.5.-3或4ab=(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=4ab,(m+2)(m-3)=4(m+2)(m-3)=24,化简,得m2-m-12=0,解得m=-3或m=4.68.略9.D对于A选项,=(-1)2-4114=0
11、,故选项A中的方程有两个相等的实数根;对于B选项,=22-414=-120,故选项B中的方程无实数根;对于C选项,=(-1)2-412=-70,故选项D中的方程有两个不相等的实数根.故选D.10.B根据题意可知=22-4a(2-c)=0,化简,得ac-2a+1=0.由一元二次方程的定义可知a0,c-2+1a=0,即1a+c=2.11.D关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+80,解得k1.12.k-1根据题意可知,=b2-4ac=22-4(-k)0,解得k0,故方程1x=0有两个不相等的实数根.故选A.3.B由统
12、计图可知该厂家2月份口罩产量为180万只,4月份口罩产量为461万只,根据题意可得方程180(1+x)2=461.故选B.4.x(x+12)=864矩形的宽为x 步,且宽比长少12 步,矩形的长为(x+12)步.依题意,得x(x+12)=864.5.略6.略全国视野创新练3对于x2-2x-a=0,=4+4a.当a-1时,0,方程有两个不相等的实根,故正确.当a0时,易知方程的根为x=11+a,两根之积为-a,所以两根之积小于0,故方程的两根异号,故错误.当a-1时,易知1+a0,则1+1+a1,1-1+a3时,a+14,a+12,则1+1+a3,1-1+a-1,故方程的两个实根一个大于3,另一个小于3,故正确.故有3个结论正确.