1、第2讲排列与组合最新考纲1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn).特别地C1性质(1)0！1
2、；An！(2)CC；CCC诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式CC，则xm成立.()(4)kCnC.()解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若CC，则xm或nm，故(3)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A24.答案B3.(选修23P28A17改编)从4名
3、男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.答案C4.(2017浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A720个；将1，3，5三个
4、数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA144个.答案7201445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_(用数字作答).解析末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA48种.答案486.(2017绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为_(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种.甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C种方法.其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选
5、排方法是CC843549(种).答案49考点一排列问题【例1】 (2017河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6
6、个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.法二(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法种数为A20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余
7、下6个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；其余人6个人进行全排列，有A种.共有AAA种.由分类加法计数原理，共有AAAA30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AAAA30 960(种).法三(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种.因此共有A2AA30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进
8、行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 (1)(2017新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480(2)(2017抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()A.30 B.600 C.720 D.84
9、0解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加，有CCA480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA240种方法，则共有480240720种方法，故选C.答案(1)C(2)C考点二组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取
10、法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 5
11、55种.(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(2017邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球
12、，则至少有两个黑球的取法种数是()A.90 B.115 C.210 D.385(2)(2017湖州市质检)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种 B.63种 C.65种 D.66种解析(1)分三类，取2个黑球有CC90种，取3个黑球有CC24种，取4个黑球有C1种，故共有90241115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种).答案(1)B(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒
13、内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确
14、定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C(CCAA)84(种).规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1
15、)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()A.AC B.ACC.AA D.2A(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析(1)法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).所以不同的安排方法有CA(种).法二先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCCAC(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四
16、组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.答案(1)B(2)60思想方法1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插
17、空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.易错防范1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中
18、奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.72解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA3432172，故选D.答案D2.(2017东阳调研)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A.16种 B.36种C.42种 D.60种解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法.由分类加法计数原理知共ACA
19、60(种)方法.法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4364种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43464460(种).答案D3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A.CA B.CA C.CA D.CA解析首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.答案C4.(2017金华调研)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
20、_种()A.30 B.36 C.60 D.72解析甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有CC6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：从4门中选1门作为相同的课程，有C4种选法，甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有CC6种选法，由分步乘法计数原理此时共有CCC24种方法.综上，共有62430种方法.答案A5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.
21、36种 B.42种C.48种 D.54种解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法.依分类加法计数原理，知共有ACA42种编排方案.答案B6.(2016东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A.10 B.16C.20 D.24解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.要求每人左右均有空座，在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A20种坐法.
22、答案C7.(2017浙江五校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120C.144 D.168解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品中2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“小品1相声小品2”.有AA48种安排方法，故共有363648120种安排方法.法二先不
23、考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有AA144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有AAA24(种)，于是符合题意的排法共有14424120(种).答案B8.(2017青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.18种 B.24种 C.36种 D.72种解析一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种).由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36(种).答案C二、填空题9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有_
24、种排法(用数字作答).解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C20(种).答案2010.(2017余姚质检)3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数有_；任两个女生不相邻的排法有_(均用数字作答).解析分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，故有AAA72种；把3名女学生插入到3名男学生排列后所形成的4个空中的3个，故有AA144种.答案7214411.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种(用数字作答).解析把g、o、o、d 4个
25、字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A112111(种).答案1112.(2017金丽衢十二校联考)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有_种(用数字作答).解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有CCCC70种方法.答案7013.(2017淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符
26、座位的坐法有_种(用数字作答).解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9545种坐法.答案45能力提升题组(建议用时：20分钟)14.(2017武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A.72 B.144C.240 D.288解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有CA6种排法；第二
27、步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有CAC8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有686288种，故选D.答案D15.设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A.60 B.90C.120 D.130解析因为xi1，0，1，i1，2，3，4，5，且1|x1|x2|x3|x4|
28、x5|3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.xi(i1，2，3，4，5)中4个0，1个为1或1，A有2C个元素；xi中3个0，2个为1或1，A有C2240个元素；xi中2个0，3个为1或1，A有C22280个元素；从而，集合A中共有2C4080130个元素.答案D16.(2017慈溪调考)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_(用数字作答).解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个
29、男生插空，方法有CAA24种.故所有出场顺序的排法种数为362460.答案6017.(2017诸暨模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有_个(用数字作答).解析根据题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，1，2，4，5；0，3，4，5；0，2，3，4；0，1，3，5；0，1，2，3；时，共可以组成A24个四位数；时，0不能在首位，此时可以组成3A332118个四位数，同理，、时，都可以组成18个四位数，则这样的四位数共2441896个.答案9618.(1)现有10个保送上大学的名额，分
30、配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？(2)已知集合A5，B1，2，C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C242(种)；若分配到3所学校有C35(种).共有7423584(种)方法. 法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C84种不同方法.所以名额分配的方法共有84种.(2)从集合B中取元素2时，确定CA个点.当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C1C.当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个.由分类加法计数原理，共确定CACCA33(个)不同点.
