1、第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式
2、AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线
3、AxByC0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.()(5)不等式x2y20表示的平面区域在直线xy10的下方.(4)直线axbyz0在y轴上的截距是.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，3) D.(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3)不等式组表示的平面区域是()解析x3y60表示直线x3y
4、60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B4.(2016全国卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x3与直线xy10的交点(3，4)处取得，代入目标函数zx2y得到5.答案55.(2017舟山统考)已知整数x，y满足不等式则2xy的最大值是_；x2y2的最小值是_.解析满足不等式组的可行域如图所示，由z2xy，得y2xz，由图可知，当直线y2xz过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得即A点坐标为(8，8)，z最大值等于28824.x2y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B
5、(2，2)，可得22228.答案2486.若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.答案2考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (2015重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1C. D.3解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，由解得即A(1m，1m).由解得即B，所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(
6、1m)2，解得m3(舍去)或m1.故选B.答案B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】 若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B.C. D.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域.因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.答案A考点二线性规划相关问题(多维探究)命题角度一
7、求目标函数的最值【例21】 (1)(2016全国卷)设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_.(2)(2015全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_.解析(1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线yx过点A(1，1)时，z取得最小值，即zmin2(1)3(1)510.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.答案(1)10(2)3命题角度二求参数的值或范围【例22】 (2015福建卷)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A.2
8、B.1 C.1 D.2解析如图所示，目标函数z2xy取最大值2，即y2x2时，画出表示的区域，由于mxy0过定点(0，0)，要使z2xy取最大值2，则目标函数必过两直线x2y20与y2x2的交点A(2，2)，因此直线mxy0过点A(2，2)，故有2m20，解得m1.答案C规律方法线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：截距型：形如zaxby；距离型：形如z.斜率型：形如z.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域
9、里，寻求最优解.【训练2】 (1)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A.5 B.3C.5或3 D.5或3(2)(2017诸暨市统考)已知变量x，y满足则z()2xy的最大值为_.解析(1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.由zxay得yx.由图可知当11时，z可取得最小值，此时a1或a1.又直线yx过A点时，z取得最小值，因此a7，化简得a22a150，解得a3或a5，当a3时，经检验知满足题意；当a5时，目标函数zxay过点A时取得最大值，不满足题意，故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m2xy，由图象可知当直线y2xm经过点A时，
10、直线y2xm的纵截距最大，此时m最大，故z最大.由解得即A(1，2).代入目标函数z()2xy得，z()2124.答案(1)B(2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.解析设生产A产品x件，B产
11、品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.【训练3】 (2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料
12、及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元C.17万元 D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax324318(万元).答案D思想方法1.求最值：求二元一次目标函数zaxby(ab0)的最值，将zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.易错防范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.