1、 课外拓展阅读 由递推公式求通项的常用方法和技巧递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法类型1an1anf(n)把原递推公式转化为an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解典例1已知数列an中，a12，an1ann1，求数列an的通项公式思路分析 解因为a12，an1ann1，所以anan1(n1)1，an1an2(n2)1，an2an3(n3)1，a2a111，由已知，a1211，将以上各式相加，得an(n1)(n2)(n3)21n1n1n11.类型2an1f
2、(n)an把原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解典例2已知数列an满足a1，an1an，求数列an的通项公式思路分析 解由an1an，得.当n2，nN*时，ana1，即an.又当n1时，a1，故an.类型3an1panq其中p，q均为常数，pq(p1)0先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再利用换元法转化为等比数列求解典例3已知数列an中，a11，an12an3，求数列an的通项公式思路分析解设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为
3、首项，以2为公比的等比数列所以bn42n12n1, 即an2n13.类型4an1panqn其中p，q均为常数，pq(p1)0(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn1，得，引入辅助数列bn，得bn1bn，再用待定系数法解决；(2)也可在原递推公式两边同除以pn1，得n，引入辅助数列bn，得bn1bnn，再利用累加法(逐差相加法)求解典例4已知数列an中，a1，an1ann1，求数列an的通项公式思路分析解解法一：将an1ann1两边分别乘以2n1，得2n1an1(2nan)1.令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13(bn3)所以数列bn3是首项为b1323，公比为的等比数
4、列所以bn3n1，即bn32n.于是，an.解法二：将an1ann1两边分别乘以3n1，得3n1an13nann1.令bn3nan，则bn1bnn1，所以bnbn1n，bn1bn2n1，b2b12.将以上各式叠加，得bnb12n1n，又b13a131，所以bn12n1n2n12，即bn2n12.故an.类型5an1pananb(p1，p0，a0)这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，然后与已知递推式比较，解出x，y，从而得到anxny是公比为p的等比数列典例5设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求数列an的通项公式思路分析解析设递
5、推公式可以转化为anAnB3an1A(n1)B，化简后与原递推式比较，得解得则ann13an1(n1)1令bnann1，(*)则bn3bn1，又b16，故bn63n123n，代入(*)，得an23nn1.类型6an1pa(p0，an0)这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an1panq型，再利用待定系数法求解典例6已知数列an中，a11，an1a(m0)，求数列an的通项公式思路分析 解析对an1a两边取对数，得lg an12lg anlg .令bnlg an，则bn12bnlg .因此得bn1lg 2，记cnbnlg ，则cn12cn.所以数列cn是首项c1b1lg lg ，公比为2
6、的等比数列所以cn2n1lg .所以bncnlg 2n1lg lg lg ，即lg anlg ，所以anm2n1.类型7an1(p，q，r0且an0，qanr0)这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理若pr，则有，此时为等差数列若pr，则有，此时可转化为类型3来处理典例7已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式思路分析 解析因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，则1，所以是以1为首项，以为公差的等差数列所以(n1)，所以an(nN*)类型8an1anf(n)将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后将n按奇数
7、、偶数分类讨论即可典例8已知数列an中，a11，an1an2n，求数列an的通项公式思路分析 解因为an1an2n，所以an2an12n2，故an2an2，即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，因为an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上知，ann1，nN*.类型9an1anf(n)将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式作商可得，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可典例9已知数列an中，a13，an1an2n，求数列an的通项公式思路分析 解因为an1an2n，所以an2an12n1，故2，即数列an是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列当n为偶数时，a2，故ana222，即an2；当n为奇数时，n1为偶数，故an12，代入an1an2n，得an32.综上知，an