1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第八节 曲线与方程 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都在那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程这个方程的解曲线上上一页返回首页下
2、一页高三一轮总复习2圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e.当 01 时，圆锥曲线是双曲线0e1一个定点一条定直线上一页返回首页下一页高三一轮总复习3求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M)(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程.(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上f(x，y)0 上一页返回首页下一页高三一轮总复习4两曲线的交点设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)0，曲线 C2
3、的方程为 F2(x，y)0，则 C1，C2的交点坐标即为方程组F1x，y0，F2x，y0的实数解若此方程组，则两曲线无交点无解上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件()(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.()(4)方程 y x与 xy2 表示同一曲线()解析 由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一
4、轮总复习2(教材改编)已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动点若过点B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆D抛物线D 由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2016广州模拟)已知点 F(0,1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FPFQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为()Ax24y By23xCx22yDy24x上一页返回首页下一页高三一轮总复习A
5、 设点 P(x，y)，则 Q(x，1)QP QF FPFQ，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得 x24y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y.故选 A.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A的轨迹方程为_上一页返回首页下一页高三一轮总复习(x10)2y236(y0)设 A(x，y)，则 Dx2，y2|CD|x252y243，化简得(x10)2y236，由于 A，B，C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5(
6、2017郑州模拟)在ABC 中，|BC|4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且|BD|CD|2 2，则顶点 A 的轨迹方程为_.【导学号：57962416】上一页返回首页下一页高三一轮总复习x22 y221(x 2)以 BC 的中点为原点，中垂线所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，E，F 分别为两个切点 则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.所以|AB|AC|2 2，所以点 A 的轨迹为以 B，C 为焦点的双曲线的右支(y0)，且 a 2，c2，所以 b 2，所以轨迹方程为x22y221(x 2)上一页返回首页下一页高三一轮总复习直接法求轨迹方程 已知动圆过定点 A(4,
7、0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.求动圆圆心的轨迹 C 的方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|.2 分 当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，|O1M|x242.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习又|O1A|x42y2，x42y2 x242，化简得，y28x(x0).10 分 当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.12 分上一页返回首页下一页高三一轮
8、总复习规律方法 1.如果动点满足的条件是易于用 x，y 表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有 x，y 的等式，可利用直接法求轨迹方程 2运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1 已知两点 M(1,0)，N(1,0)，且点 P 使MP MN，PM PN，NM NP成公差小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程.【导学号：57962417】上一页返回首页下一页高三
9、一轮总复习解 设点 P(x，y)，则MP(x1，y)，NP(x1，y)，MN(2,0).3 分 故MP MN 2(x1)，PM PNMP NP(x1)(x1)y2x2y21，NM NP2(x1)2(1x).6 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习因为MP MN，PM PN，NM NP成公差小于零的等差数列，所以 2(x2y21)2(x1)2(1x).10 分 且NM NPMP MN 2(1x)2(x1)4x0)，故点 P 的轨迹方程为 x2y23(x0).12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习定义法求轨迹方程 如图 8-8-1 所示，已知点 C 为圆(x 2)2y24 的圆心，点 A(2
10、，0)P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上，且MQ AP0，AP2 AM.当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程图 8-8-1上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 由(x 2)2y24 知圆心 C(2，0)，半径 r2.2 分 MQ AP0，AP2AM，MQAP，点 M 为 AP 的中点，因此 QM 垂直平分线段 AP.6 分 如图，连接 AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习又|AC|2 22.8 分 根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C(2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为 2 的双曲线.10 分 由
11、c 2，a1，得 b21，因此点 Q 的轨迹方程为 x2y21.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 若将本例中的条件“圆 C 的方程(x 2)2y24”改为“圆 C的方程(x 2)2y216”，其他条件不变，求点 Q 的轨迹方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 由(x 2)2y216 知圆心 C(2，0)，半径 r4.2 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习MQ AP0，AP2 AM，QM 垂直平分 AP，连接 AQ，则|AQ|QP|，6 分|QC|QA|QC|QP|r4.8 分 根据椭圆定义，点 Q 的轨迹是以 C(2，0)，A(2，0)为焦点，长轴长为4 的椭圆.10
12、 分 由 c 2，a2，得 b 2.因此点 Q 的轨迹方程为x24y221.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义 在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程 2利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2(2016全国卷选编)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴
13、不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值；(2)求点 E 的轨迹方程，并求它的离心率上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.3 分 又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由圆 A 方程(x1)2y216，知 A(1,0)又 B(1,0)因此|AB|2，则|EA|EB|4|AB|.8 分 由椭圆定义，知点 E 的轨迹是
14、以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(不含与 x轴的交点)，所以 a2，c1，则 b2a2c23.10 分 所以点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)故曲线方程的离心率 eca12.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习相关点(代入)法求轨迹方程 如图 8-8-2 所示，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|.图 8-8-2(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的长度上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设 M 的坐标为(x
15、，y)，P 的坐标为(xP，yP)，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|45|PD|，xPx，且 yP54y.2 分 P 在圆 x2y225 上，x254y225，整理得x225y2161，故轨迹 C 的方程是x225y2161.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)过点(3,0)且斜率为45的直线 l 的方程是 y45(x3)，7 分 设此直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程x225y2161 得：x225x32251，化简得 x23x80，x13 412，x23 412，10 分 则|
16、AB|11625 x1x22412541415.直线被曲线 C 所截线段的长度为415.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点 P(x，y)随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的 2“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1fx，y，y1gx，y.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3(2017武汉模拟)P 是椭圆x2a2y2
17、b21 上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q 满足OQ PF1 PF2，则动点 Q 的轨迹方程是_.【导学号：57962418】上一页返回首页下一页高三一轮总复习x24a2 y24b21 作 P 关于 O 的对称点 M，连接 F1M，F2M，则四边形 F1PF2M为平行四边形，所以PF1 PF2 PM 2OP.又OQ PF1 PF2，所以OP 12OQ.上一页返回首页下一页高三一轮总复习设 Q(x，y)，P(x0，y0)，则 x0 x2，且 y0y2，又点 P(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21 上，则有x22a2 y22b2 1，即 x24a2 y24b2
18、1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y)0.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(3)代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y)的轨迹方程(4)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数 上一页返回首页下一页高三一轮总复习2曲线的方程与方程的曲线是从两个方面揭示方程与曲线的对应关系，体现数与形的辨证统一 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义 2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（五十二）点击图标进入
