1、第1讲函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一
2、个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽
3、由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数y1与yx0是同一个函数.()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()(3)函数y1的值域是y|y1.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x211，故y10，故函数y1的值域是y|y0.(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0
4、y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是2，2，C中图象不表示函数，D中函数值域不是0，2.答案B3.(2017舟山一模)函数y的定义域为()A.(，1 B.1，1C.1，2)(2，) D.解析由题意，得解之得1x1且x.答案D4.(2015陕西卷)设f(x)则f(f(2)等于()A.1 B. C. D.解析因为20，所以f(f(2)f11，故选C.答案C5.(2015全国卷)已知函数f(x)ax32x的图象过点(1，4)，则a_.解析由题意知点(1，4)在函数f(x)ax32x的图象上，所以4a2，则a2.答案26.(2017丽水调研)设函数f(x)设函数f(f(4)_.
5、若f(a)1，则a_.解析f(x)f(4)242131，f(f(4)f(31)log2325；当a1时，由f(a)2a211，得a1(a1舍去)；当a1，故函数f(x)lnx的定义域为(1，).(2)yf(x)的定义域为1，2 017，g(x)有意义，应满足0x2 016，且x1.因此g(x)的定义域为x|0x2 016，且x1.答案(1)B(2)x|0x2 016，且x1规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域
6、可由ag(x)b求出；若已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域.【训练1】 (1)(2015湖北卷)函数f(x)lg的定义域为()A.(2，3) B.(2，4C.(2，3)(3，4 D.(1，3)(3，6(2)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_.解析(1)要使函数f(x)有意义，应满足则21)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1).(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，则2axabx1，即f(x)x2x2.(3)在f(x)2f 1中，将x换成，则换成x，
7、得f 2f(x)1，由解得f(x).答案(1)lg(x1)(2)x2x2(3)规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).(4)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.【训练2】 (1)已知f(1)x2，则f(x)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若
8、当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(3)定义在(1，1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.解析(1)令1t，则x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1).(2)当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1).(3)当x(1，1)时，有2f(x)f(x)lg(x1).将x换成x，则x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1).由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1，1).答案(1)x21(x1)(2)x(x1)(3)lg(x1)lg(1x)(1x1f(log21
9、2)2(log2121)2log266，因此f(2)f(log212)369.答案C命题角度二求参数的值或取值范围【例32】 (1)(2015山东卷)设函数f(x)若f4，则b()A.1 B. C. D.(2)(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.解析(1)f3bb，若b时，则ff3b4，解之得b，不合题意舍去.若b1，即b，则2b4，解得b.(2)当x1时，ex12，解得x1ln 2，所以x1时，f(a)log2(a1)3，即log2(a1)3，解得a7，此时f(6a)f(1)222.故选A.(2)当x0时，由题意得11，解之得4x0.当x0时，由题意得(x
10、1)21，解之得0x2，综上f(x)1的解集为x|4x2.答案(1)A(2)x|4x2思想方法1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.易错防范1.复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.