1、限时规范训练A组高考热点强化练一、选择题1曲线yex在点A处的切线与直线xy30垂直，则点A的坐标为()A(1，e1)B(0,1)C(1，e) D(0,2)解析：与直线xy30垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)，选B.答案：B2已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)在原点附近的图象大致是()解析：因为f(x)2x2sin x，f(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，故选A.答案：A3曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A. B.
2、C. D.解析：因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，所以f(1)1，所以曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为.答案：B4若函数f(x)2x33mx26x在(2，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，2) B(，2C. D.解析：因为f(x)6x26mx6，当x(2，)时，令f(x)0，即6x26mx60，则mx，又因为yx在(2，)上为增函数，故当x(2，)时，x，故m，故选D.答案：D5函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0时，xf(x)0成立的x的取值范围是
3、()A(，1)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(1,0)(0,1)解析：根据题意，设函数g(x)(x0)，当x0时，g(x)0得0x，g(x)0得x0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)11函数f(x)x33x26在x_时取得极小值解析：依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.因此，函数f(x)在x2时取得极小值答案：212(2017高考全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，
4、ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA, FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知ODBC，OGBC.设OGx，则BC2x，DG5x，三棱锥的高h，SABC2x3x3x2，则三棱锥的体积VSABChx2.令f(x)25x410x5，x，则f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则V4
5、.三棱锥体积的最大值为4 cm3.答案：4 cm3三、解答题13已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.14设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在
6、x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解析：(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，b0，d0Ba0，b0，c
7、0Ca0，b0，d0Da0，b0，c0，d0.f(x)3ax22bxc，且函数f(x)ax3bx2cxd在(，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，)上单调递增，f(x)0，又x1，x2均为正数，0，0，可得c0，bf(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0，故g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0)，选A.答案：A6若函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围为()AaCea0 D0a0，所以由g(x)0，解得x1，当x1时，g(x)0，函数g(x)为增函数；当x1时，
8、g(x)0，函数g(x)为减函数，所以当x1时函数g(x)有最小值：g(1)e1.画出函数yxex的图象，如图所示，显然当a0时，函数f(x)xexa有两个零点，故选A.答案：A7设函数f(x)在2,2上的最大值为2，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0) D.解析：设y2x33x21(2x0)，则y6x(x1)(2x0)，所以2x0，1x0时y0时，yeax在(0,2上的最大值e2a2，所以0aln 2，当a0时，y12，当a0时，yeax在(0,2上的最大值小于1，所以实数a的取值范围是.答案：D8定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，已知f(x1)是偶函数，且(x1)f(x)
9、0.若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) D不确定解析：由(x1)f(x)1时，f(x)0，函数单调递减当x0，函数单调递增因为函数f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，即函数f(x)图象的对称轴为x1.所以，若1x1f(x2)；若x12x11，此时有f(x2)f(x2)综上，必有f(x1)f(x2)，选C.答案：C二、填空题9曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析：y3ln x1x3ln x4，ky|x14，切线方程为y14(x1)，即y4x3.答案：y4x310已知函数f(x)x22axln x，若f(x)
10、在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上单调递减，max，2a，即a.答案：11已知函数f(x)ln x，则函数g(x)f(x)f(x)在区间2，e上的最大值为_解析：因为f(x)ln x，所以f(x)，则g(x)f(x)f(x)ln x，函数g(x)的定义域为(0，)，g(x)0在x(0，)上恒成立，所以函数g(x)在(0，)上是增函数，所以g(x)在区间2，e上的最大值g(x)maxg(e)ln e1.答案：112已知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf(x)f(x)0，则函数g(x)xf(x)1(x0)的零点个数为_
11、解析：本题考查导数在函数中的应用，考查考生的构造思想设F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)0在R上恒成立，且F(0)0，所以F(x)xf(x)0在(0，)上恒成立，所以在(0，)上g(x)xf(x)11恒成立，则函数g(x)xf(x)1的零点个数为0.答案：0三、解答题13已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值解析：(1)x(0，)，f(x)(a0)，显然f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则当x(1，e)时，xa0，即f(x)0，故f(x)在1，e上
12、为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则当x(1，e)时，xa0，即f(x)0，故f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.14(2017潍坊模拟)已知函数f(x)bln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx.(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)若x1，f(x)kx恒成立，求k的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，故f(1)ba1
13、，又f(1)a，点(1，a)在直线yx上，a1，则b2.f(x)2ln x且f(x)，当0x时，f(x)时，f(x)0.故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为，f(x)极小值f22ln 2，无极大值(2)由题意知，k(x1)恒成立，令g(x)(x1)，则g(x)(x1)，令h(x)xxln x1(x1)，则h(x)ln x(x1)，当x1时，h(x)0，h(x)在1，)上为减函数，故h(x)h(1)0，故g(x)0，g(x)在1，)上为减函数，故g(x)的最大值为g(1)1，k1.15已知函数f(x)x3x22x5.(1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若曲线yf
14、(x)与y2xm有三个不同的交点，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)x3x22x5，f(x)x23x2.易求得f(3)2，f(3).f(x)的图象在(3，f(3)处的切线方程是y2(x3)，即4x2y10.(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，得x3x25m，设g(x)x3x25，曲线yf(x)与直线y2xm有三个不同的交点，曲线yg(x)与直线ym有三个不同的交点，易得g(x)x23x，令g(x)0，解得x0或x3，当x3时，g(x)0，当0x3时，g(x)0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g(0)5，g(3)，即g(x)极大值5，g(x)极小值，可画出如图所示的函数g(x)的大致图象实数m的取值范围为m5.