1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数内 容 标 准学 科 素 养1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值、最小值的概念；2.弄清函数的最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件；3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.提升直观想象加强逻辑推理规范数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 闭区间上连续函数的最值预习教材P2931，思考并完成以下问题1函数 yf(x)在定义域 I 内的最大值与最小值是怎样定义的？提示：如果函数 f(x)在定义域 I 内存在 x0，使得xI，总
2、有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在定义域 I 上的最大值(或最小值)2如图是函数 yf(x)，xa，b的图象(1)你能找出它的极大值、极小值吗？提示：f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 yf(x)的极大值(2)你能找出它的最大值、最小值吗？提示：f(a)是函数 yf(x)在a，b上的最大值，f(x3)是函数 yf(x)在a，b上的最小值(3)若将区间改为(a，b)，yf(x)在(a，b)上还有最值吗？提示：若区间改为(a，b)，则 yf(x)有最小值 f(x3)，无最大值 (4)
3、由以上讨论，你能得出什么结论？提示：若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得知识梳理 闭区间上连续函数的最值一般地，如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数 yf(x)的所有连同的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值连续不断极值端点知识点二 求函数在闭区间上最值的步骤 知识梳理 一般地，求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数 yf(x)在内的极值；(2)将函数 yf(x)的与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个
4、是最大值，最小的一个是最小值(a，b)各极值思考：1.函数的最大(小)值最多只能有一个，那么函数的最大(小)值点呢？提示：函数的最大(小)值最多只能有一个，而最大(小)值点却可以有多个，如正弦函数的最值点与极值点相同，都有无穷多个2函数在给定区间上是否一定有最值或极值？提示：如果函数 yf(x)的图象是区间a，b上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则(1)f(x)在a，b上必有最值(2)若 f(x)在区间(a，b)上为单调函数，则无极值；若 f(x)在区间(a，b)上先增(减)后减(增)，则必存在一个极大(小)值3函数的极值与最值有何区别和联系？提示：函数最值与极值的区别与联系(1)函
5、数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值自我检测1设 f(x)是a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()Af(x)的极值点一定是最值点Bf(x)的最值点一定是极值点Cf(x)在此区间上可能没有极值点Df(x)在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值
6、的概念判断知选项 A，B，D 都不正确答案：C2函数 f(x)13x32x2 在区间1,5上()A有最大值 0，无最小值B有最大值 0，有最小值323C有最小值323，无最大值D既无最大值也无最小值解析：f(x)x24xx(x4)，令 f(x)0，得 x0 或 x4，f(0)0，f(4)323，f(1)73，f(5)253，所以 f(x)maxf(0)0，f(x)minf(4)323.答案：B3若关于 x 的不等式 x24xm 对任意 x0,1恒成立，则 m 的取值范围是_解析：设 yx24x，y2x4，令 y0，得 x2.所以 yx24x 在(，2)上是减函数，即在 x0,1上也是减函数，所
7、以 ymin1243，所以 m3，即 m(，3答案：(，3探究一 求已知函数的最值例 1 求下列函数的最值(1)f(x)exex，x0，a，a 为正常数；(2)f(x)a2x b21x，x(0,1)，a0，b0.解析(1)f(x)1ex(ex)1exex1e2xex.当 x0，a时，f(x)0 恒成立，即 f(x)在0，a上是减函数故当 xa 时，f(x)有最小值 f(a)eaea；当 x0 时，f(x)有最大值 f(0)e0e00.(2)f(x)a2x2b21x2b2x2a21x2x21x2，令 f(x)0，即 b2x2a2(1x)20，解得 x aab或 x aab(舍去)当 x 变化时，
8、f(x)，f(x)的变化情况如下表：x00，aabaabaab，11f(x)0f(x)(ab)2 从上表可知当 x aab时，f(x)有最小值 faab(ab)2.在 x(0,1)上，函数无最大值误区警示 求函数在固定区间上最值的注意事项(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点处的函数值；(3)比较极值与端点处的函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论方法技巧 用导数求函数 f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数 f(x)的导函数 f(x)；(2)求极值嫌疑点：即 f(x)不存在的点和 f(x)0 的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若
9、干个子区间，列出 f(x)与 f(x)随 x 变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出 f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数 f(x)在其定义域内的最大值和最小值跟踪探究 1.函数 f(x)x33x29x6 在区间4,4上的最大值为()A11 B70 C14 D21解析：函数 f(x)x33x29x6 的导数为 f(x)3x26x9，令 f(x)0 得 x1 或 x3，由 f(4)70；f(1)11；f(3)21；f(4)14；所以函数 yx33x29x6 在区间4,4上的最大值为 11.答案：A2
10、函数 yxln x 的最小值为()Ae1Be Ce2D103解析：因为 yxln x，定义域是(0，)，所以 y1ln x，令 y0，解得：x1e，令 y0，解得 0 x1e，所以函数在0，1e 上递减，在1e，上递增，故 x1e时，函数取最小值是1e.答案：A探究二 含参数的最值问题例 2 已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值解析 因为 f(x)exax2bx1，所以 g(x)f(x)ex2axb，又 g(x)ex2a，因为 x0,1，1exe，所以：(1)若 a12
11、，则 2a1，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.(2)若12ae2，则 12ae，于是当 0 xln(2a)时，g(x)ex2a0，当 ln(2a)x1 时，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若 ae2，则 2ae，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当 a12时，g(x)在区间0,1上的最小值为 1b；当12ae2时，g(x)在区间0,1上
12、的最小值为 2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在区间0,1上的最小值为 e2ab.延伸探究 1.若 a1，b2，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值解析：因为 a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又 g(x)ex2，令 g(x)0，因为 x0,1，解得 xln 2，已知当 xln 2 时，函数取极小值，也是最小值，故 g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2当 b0 时，若函数 g(x)在区间0,1上的最小值为 0，求 a 的值解析：当 b0 时，因为 f(x)exax21，所以 g(x)f(x)ex2ax，又 g(x)ex2a，因为 x0,1，1exe，所
13、以：(1)若 a12，则 2a1，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意(2)若12ae2，则 12ae，于是当 0 xln(2a)时，g(x)ex2a0，当 ln(2a)x1 时，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得 ae2不符合题意，舍去(3)若 ae2，则 2ae，g(x)ex2a0，所以函数 g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2a0，解得 ae2.方法技巧 1.含参数的函数最值问
14、题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值2已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围跟踪探究 3.设23a1，函数 f(x)x332ax2b(1x1)的最大值为 1，最小值为 62，求
15、常数 a，b.解析：令 f(x)3x23ax3x(xa)0，得 x0 或 xa.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)132ab b a32 b 132ab从表中可知，当 x0 时，yf(x)取得极大值 b，xa 时取得极小值a32 b，而 f(1)f(a)，f(0)f(1)，故需比较 f(0)与 f(1)及 f(1)与 f(a)的大小因为 f(0)f(1)32a10，所以 yf(x)的最大值为 f(0)b1.又 f(1)f(a)12(a1)2(a2)0，所以 yf(x)的最小值为 f(1)132ab 62，所以32a
16、 62，a 63.探究三 与函数最值有关的综合问题例 3 已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 处都取得极值(1)求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间；(2)若对 x1,2，不等式 f(x)c2 恒成立，求 c 的取值范围解析(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，因为 f(1)32ab0，f23 4343ab0，解得 a12，b2，所以 f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x，232323，11(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数 f(x)的单调递增区间为，23 和
17、(1，)；单调递减区间为23，1.(2)由(1)知，f(x)x312x22xc，x1,2，当 x23时，f23 2227c 为极大值，因为 f(2)2cf23，所以 f(2)2c 为最大值要使 f(x)c2(x1,2)恒成立，只需 c2f(2)2c，解得 c1 或 c2.故 c 的取值范围为(，1)(2，)延伸探究 1.本例(2)中条件不变，问法改为求函数 f(x)在区间1,2上的最值，结果如何？解析：f(x)(3x2)(x1)，当 x 变化时，f(x)，f(x)变化情况如表：x11，232323，11(1,2)2f(x)00f(x)12c单调递增2227c单调递减32c单调递增2c由于 2c
18、2227c12c32c，所以 f(x)在区间1,2上的最大值为 2c，最小值为32c.2本例(2)中条件不变，问法“若对 x1,2，不等式 f(x)c2 恒成立”改为“若存在 x1,2，不等式 f(x)c2 成立”，结果如何？解析：f(x)x312x22xc，x1,2，当 x1 时，f(1)c32为极小值，又 f(1)12cc32，所以 f(1)c32为最小值因为存在 x1,2，不等式 f(x)c2 成立，所以只需 c2f(1)c32，解得 cR.方法技巧 分离参数求解不等式恒成立问题跟踪探究 4.已知函数 f(x)(x1)3m.(1)若 f(1)1，求函数 f(x)的单调区间(2)若关于 x
19、 的不等式 f(x)x31 在区间1,2上恒成立，求 m 的取值范围解析：(1)因为 f(1)1，所以 m1，则 f(x)(x1)31x33x23x，而 f(x)3x26x33(x1)20 恒成立，所以函数 f(x)的单调递增区间为(，)(2)不等式 f(x)x31 在区间1,2上恒成立，即不等式 3x23xm0 在区间1,2上恒成立，即不等式 m3x23x 在区间1,2上恒成立，即 m 不小于 3x23x 在区间1,2上的最大值因为 x1,2时，3x23x3x122340,6，所以 m 的取值范围是0，).课后小结(1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开
20、区间内只有一个极值，这个极值就是最值(2)已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论(3)若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内(4)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值素养培优误把极值当最值致误易错案例：已知函数 f(x)x3ax2bx5，在 x2 和 x23处取得极值(1)求函数 f(x)的解析式(2)求函数 f(x)在4,1上的最值易错分析：本题求函数最值，往往没有比较端点值和极值的大小而错误地认为极值就是最值而丢分考查直观想象、逻辑推理的核心素养自我纠正：(1)因为 f(x)x3ax2bx5，所以 f(x)3x22axb，因为在 x2和 x23处取得极值，所以f20，f23 0，解得 a2，b4.所以 f(x)x32x24x5.(2)因为 f(x)3x24x4，所以由 f(x)0，解得 x2 或 x23，所以 f(x)在4，2)上单调递增，在2，23 上单调递减，在23，1上单调递增因为 f(4)11，f(2)13，f 23 9527，f(1)4.所以 f(x)maxf(2)13，f(x)minf(4)11.04 课时 跟踪训练